Enunciado

Encontre o valor médio de f na região D .

f x , y = x   s e n   y ,

D é delimitado pelas curvas y = 0 , y = x 2 e x = 1 .

Passo 1

Precisamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em um intervalo:

M = 1 A ∬ D f x , y   d A

Assim, precisamos calcular a área A do domínio de integração e a integral da função neste domínio.

Passo 2

Neste caso, temos que o domínio de integração é a região entre o eixo x e a parábola:

Assim, a integral pode ser escrita como

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 x   s e n   y   d y   d x

Fazendo a integral em y :

∬ D f x , y   d A = ∫ 0 1 x   - cos ⁡ x 0 x 2   d x = ∫ 0 1 x   1 - cos ⁡ x 2   d x

Para calcular essa integral, vamos separar ela em duas:

∫ 0 1 x   1 - cos ⁡ x 2   d x = ∫ 0 1 x   d x - ∫ 0 1 x cos ⁡ x 2 d x = 1 2 - ∫ 0 1 x cos ⁡ x 2 d x

Já para a segunda integral, vamos fazer u = x 2 , de modo que d u = 2 x   d x . Assim,

∬ D f x , y   d A = 1 2 - 1 2 ∫ 0 1 cos ⁡ u   d u = 1 2 - 1 2 s e n   1 = 1 2 ( 1 - s e n   1 )

Passo 3

A área do domínio de integração é

A = ∫ 0 1 x 2   d x = 1 3

Assim,

M = 1 1 / 3 ⋅ 1 2 1 - s e n   1 = 3 2 ( 1 - s e n   1 )

Resposta

3 2 ( 1 - s e n   1 )

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