Enunciado

Faça uma conjectura sobre as equações das assíntotas horizontais, se houver, por meio do gráfico da equação obtida por um recurso computacional; verifique sua resposta usando a regra de L’Hôpital.

56. y = x + 1 x + 2 x

Passo 1

Temos o seguinte gráfico para a função:

Passo 2

Pra verificarmos a equação da assíntota vertical que vemos que deve existir no gráfico, podemos calcular o limite da função para quando x tende a (+) infinito, usando a regra de L’Hôpital.

Vamos ter:

l i m x → + ∞ x + 1 x + 2 x

Se aplicamos + ∞ diretamente na função, teríamos a indeterminação:

∞ + 1 ∞ + 2 ∞ = ∞ ∞ ∞

Passo 3

Essa indeterminação não nos permite usar diretamente a regra de L’Hôpital, portanto precisamos mexer um pouco na nossa função pra usá-la.

Passo 4

Existe uma propriedade matemática que diz o seguinte:

a x = e x ∙ ln ⁡ a

Reescrever nossa função dessa maneira e calcular o limite vai nos ajudar a chegar em uma indeterminação ∞ ∞ , passível de se usar a regra de L’Hôpital!

Vamos ter:

y = x + 1 x + 2 x = e x ∙ ln ⁡ x + 1 x + 2

Como a função exponencial é contínua, vale a propriedade de que o limite dessa função equivale à função do limite. Como assim? Vejamos:

l i m x → + ∞ e x ∙ ln ⁡ x + 1 x + 2 = e l i m x → + ∞ x ∙ ln ⁡ x + 1 x + 2

Agora só calculamos o limite e, no final, elevamos e ao resultado que obtivermos!

Passo 5

l i m x → + ∞ x ∙ ln ⁡ x + 1 x + 2

Ainda temos, nesse caso, o problema de não poder aplicar L’Hôpital diretamente. A indeterminação ∞ ∙ ∞ ∞ não é passível pra aplicar a regra!

Dessa forma, podemos dividir o numerador e o denominador do conteúdo do logaritmo pra nos livrarmos da indeterminação ∞ ∞ que existe dentro dele. Assim, vamos ter:

l i m x → + ∞ x ∙ ln ⁡ x + 1 x + 2 = l i m x → + ∞ x ∙ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x

Agora,a indeterminação que chegamos agora é ∞ ∙ 0 , que nós podemos facilmente converter em 0 0 trabalhando em cima de x da seguinte forma:

l i m x → + ∞ x ∙ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x = l i m x → + ∞ 1 1 x ∙ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x

Dessa forma, já podemos aplicar L’Hôpital e calcular o limite!

Passo 6

l i m x → + ∞ 1 1 x ∙ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x = l i m x → + ∞ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x 1 x

Derivando numerador e denominador (usando a regra da cadeia), vamos ter:

l i m x → + ∞ ln ⁡ 1 + 1 x 1 + 2 x 1 x = l i m x → + ∞ - 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) 1 x 2 =

= l i m x → + ∞ - x 2 x + 1 x + 2 = l i m x → + ∞ - x 2 x 2 + 3 x + 2

Aqui, continuamos com uma indeterminação. Só que agora do tipo ∞ ∞ . Nesse caso podemos aplicar de novo L’Hôpital, derivando numerador e denominador novamente. Vamos ter:

= l i m x → + ∞ - 2 x 2 x + 3

Dividindo numerador e denominador pelo termo de x com maior grau do denominador, que é x 1 , temos:

l i m x → + ∞ - 2 2 + 3 x = - 2 2 + 3 ∞ = - 2 2 + 0 = - 1

Por fim, temos como resposta:

e - 1 = 1 e

Então a equação da assíntota horizontal que temos é y = 1 e

Resposta

y = 1 e

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