Enunciado

Encontre underset(x -> 0^+)(lim) (x sin (1)/(x))/(sin x) , se existir

Passo 1

O melhor caminho pra tentarmos determinar esse limite é pelo Teorema do Confronto.

Primeiro, lembramos da trigonometria básica que o seno de um ângulo (que, nesse caso, é descrito por (1)/(x) ) está limitado entre - 1 e 1 . Escrevemos então:

- 1 <= sin (1)/(x) <= 1

Agora, repara que se a gente multiplicar cada termo da inequação por (x)/(sin x) a gente vai ter:

Passo 2

- (x)/(sin x) <= (x sin (1)/(x))/(sin x) <= (x)/(sin x)

Que, no termo do meio, resulta exatamente na nossa função f ( x ) . O Teorema do Confronto diz que, quando uma função é limitada entre outras duas, o limite dessas funções dos extremos a um determinado valor, também vai valer pra função do meio – se os limites forem iguais!

Se queremos underset(x -> 0)(lim) (x sin (1)/(x))/(sin x) , podemos calcular underset(x -> 0)(lim) - (x)/(sin x) e underset(x -> 0)(lim) (x)/(sin x) , que vamos ter o resultado pro primeiro limite!

Passo 3

E underset(x -> 0)(lim) (x)/(sin x) e underset(x -> 0)(lim) - (x)/(sin x) são facilmente calculáveis por L’Hôpital! Temos:

underset(x -> 0)(lim) (x)/(sin x) = underset(x -> 0)(lim) - (1)/(cos x) = - (1)/(cos 0) = - (1)/(1) = - 1

underset(x -> 0)(lim) - (x)/(sin x) = underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) = (1)/(cos 0) = (1)/(1) = 1

Nesse caso, conseguimos calcular os limites das funções que delimitam a nossa função de interesse, mas esses limites têm valores diferentes. Assim, concluímos que o limite pra nossa função não existe!

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x sin (1)/(x))/(sin x) = ∄

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Se um campo eletrostático E agir em um dielétrico polar líquido ou gasoso, o momento de dipolo resultante P por unidade de volume é P E = e E + e - E e E - e - E - 1 E Mostre que lim E → 0 + ⁡ P ( E )
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) x ( ln x )^2
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite: lim x → ∞ ⁡ ( ln ⁡ x ) 1 x