Enunciado

Faça um esboço da função secante hiperbólica.

Ache os extremos relativos da função, os pontos de inflexão, os intervalos nos quais o gráfico é côncavo para cima e para baixo.

Passo 1

Para montarmos esse esboço bem detalhado, temos que fazer o seguinte passo a passo:

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f ;

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

Vamos seguir essa lógica então para tgh ⁡ x

Lembrando que:

sec ⁡ x = 2 e x + e - x

Passo 2

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Passo 3

Agora vamos aos limites.

lim x → - ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → - ∞ ⁡ 2 e x + e - x = 2 e - ∞ + e + ∞ = 2 ∞ = 0

Temos uam assíntota horizontal em

y = 0

Passo 4

Agora vamos aos limites.

lim x → + ∞ ⁡ f x

Vai ficar:

lim x → + ∞ ⁡ 2 e x + e - x = 2 e + ∞ + e - ∞ = 2 ∞ = 0

Temos uam assíntota horizontal em

y = 0

Passo 5

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais porque a soma de exponencial não vai ser 0 nunca

Passo 6

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = - sech ⁡ x tgh ⁡ x

Como:

sech ⁡ x = 2 e x + e - x

tg h ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

A nossa derivada vai ser:

f ' x = - 2 e x + e - x e x - e - x e x + e - x = - 2 e x - e - x e x + e - x 2

Vamos ter que a derivada vai depende do sinal de e x - e - x

e x - e - x > 0 → e x > e - x → e 2 x > 1 → e x > 1 → x > 0

e x - e - x < 0 → e x < e - x → e 2 x < 1 → - 1 < e x < 1 → e x < 1 → x < 0

Vamos ter

f ' x > 0 ⟺ x ∈ 0 , + ∞

f ' x < 0 ⟺ x ∈ - ∞ , 0

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟺ x ∈ 0 , + ∞

d e c r e s c e n t e ⟺ x ∈ - ∞ , 0

Passo 7

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

x = 0 → m á x i m o

Passo 8

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

f ' x = - sech ⁡ x tgh ⁡ x

Usando a regra do produto, vamos ter:

f ' ' x = - sech ⁡ x ' tgh ⁡ x + - sech ⁡ x tgh ⁡ x '

f ' ' x = sech ⁡ x tgh ⁡ x tgh ⁡ x + - sech ⁡ x senh 2 ⁡ x

f ' ' x = sech ⁡ x tgh 2 ⁡ x - sech 3 ⁡ x

Colocando sech ⁡ x e evidência:

f ' ' x = sech ⁡ x tgh 2 ⁡ x - sech 2 ⁡ x

E usando

sech ⁡ x = 2 e x + e - x

tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Vamos ter:

f ' ' x = sech ⁡ x e x - e - x e x + e - x 2 - 2 e x + e - x 2

f ' ' x = sech ⁡ x e 2 x - 2 + e - 2 x - 4 e x + e - x 2

f ' ' x = sech ⁡ x e 2 x + 2 + e - 2 x e x + e - x 2

f ' ' x = sech ⁡ x e x + e - x e x + e - x 2

f ' ' x = 2 e x + e - x 1 e x + e - x

f ' ' x = 2 e x + e - x 1 e x + e - x

Entao a segunda derivada é sempre posiva.

f ' ' x > 0 ⟺ x ∈ R

Então:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ R

Isso também nos diz que não temos um ponto de inflexao

Passo 9

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Assíntotas horizontais:

y = 0

c r e s c e n t e ⟺ x ∈ 0 , + ∞

d e c r e s c e n t e ⟺ x ∈ - ∞ , 0

x = 0 → m á x i m o

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟺ x ∈ R

O gráfico vai ficar:

Resposta

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