Enunciado

(a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial r t = t 2 , t ,   0 ≤ t ≤ 2 , e desenhe os vetores r 1 ,   r 1,1 e r 1,1 - r ( 1 ) .

(b) Desenhe o vetor r ' ( 1 ) começando em (1, 1) e comapare com o vetor

r 1,1 - r 1 0,1

Explique porque esses vetores estão tão próximos um do outro tanto em módulo quanto em direção e sentido.

Passo 1

Inicialmente, queremos obter uma forma mais “familiar” para a função vetorial r ( t ) .

A curva descrita pela função vetorial dada pode ser representada pelas equações paramétricas

x = t 2 , y = t ,         0 ≤ t ≤ 2

Isolando o parâmetro t nas duas equações temos

t = x ,   t = y         →       x = y 2 ,     0 ≤ y ≤ 2    

Do resultado obtido acima, sabemos que a curva representa uma função quadrática cuja forma é um “pedaço” de uma parábola com concavidade para a direita já que y está limitado ao intervalo [0,2].

Passo 2

Os vetores r 1   e   r 1,1 podem ser obtidos substituindo-se os valores de t da seguinte maneira:

r 1 = 1 2 ; 1 = ( 1 ;   1 )

r 1,1 = 1,1 2 ; 1,1 = ( 1,21 ; 1,1 )

OBS: utilizamos ponto e vírgula para separar os componentes do vetor r ( t ) pois já existem vírgulas separando algarismos de casas decimais. Dessa forma evitam-se confusões.

O vetor diferença pedido no enunciado é dado por

r 1,1 - r 1 . = 1,21 ; 1,1 - 1 ; 1 = ( 0,21 ; 0,1 )

Passo 3

A imagem abaixo apresenta um esboço da curva juntamente com a representação dos vetores de posição r ( 1 ) e r ( 1,1 ) , e com o vetor r 1,1 - r ( 1 ) .

Passo 4

Para obter o vetor r ' ( t ) basta derivar os componentes do vetor r ( t ) :

r t = t 2 , t         →             r ' t = ( 2 t ,   t )

Assim, para t = 1 , temos r ' 1 = ( 2 ,   1 ) .

Por outro lado, temos

r 1,1 - r 1 0,1 = ( 0,21 ; 0,1 ) 0,1 = ( 2,1 ; 1 )

Passo 5

Uma representação dos dois vetores obtidos no passo anterior está mostrada abaixo, onde estes podem ser comparados.

Passo 6

De fato, pela figura acima, observa-se que os vetores são muito próximos em módulo, direção e sentido.

Por definição a derivada de uma função vetorial r ( t ) é dada por

r ' t = lim h → 0 ⁡ r t + h - r t h

Para t = 1 temos

r ' 1 = lim h → 0 ⁡ r 1 + h - r 1 h

Percebe-se com facilidade que o vetor calculado no final do passo 4 é igual à expressão dentro do limite anterior tomando-se h = 0,1 .

Uma vez que 0,1 é próximo de 0, é previsível que tais vetores sejam semelhantes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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