Enunciado

26. Faça esboços dos gráficos de y = s e n x   e   y = m x no mesmo conjunto de eixos. Note que se m for positivo próximo de zero, então os gráficos interceptam-se num ponto cuja abscissa é próxima de π . Seja f x = s e n x - m x . Usando o polinômio de Taylor do segundo grau de f em π mostre que uma solução aproximada da equação s e n   x = m x , quando m é positivo e próximo de zero, é dado por x ≈ π 1 + m .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 1 x = f π + f ´ π 1 ! . x - π

P 1 x = - m π - 1 + m x - π = 0

Então,

m π = - 1 + m x - π

x - π = - m π 1 + m

x ≈ π 1 + m

Resposta

x ≈ π 1 + m

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Ache o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange em um número a para a função definida pela equação dada. f x = x - 1 2 a = 9 n = 4
Sejam n um natural ímpar e f x = sen ⁡ x . Mostre que, para todo x , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !
Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = cos ⁡ x e x 0 = 0