Enunciado

Faça o gráfico da função e inclua o gráfico e a equação das assíntotas

y = x 2 - 4 x - 1

Passo 1

O primeiro passo é relembrar que para encontrar assíntotas oblíquas primeiro precisamos olhar para o numerador e caso ele tenha 1 grau a mais que o grau do denominador então a f ( x ) possuirá uma assíntota obliqua.

Considerando y = f ( x ) e observando a função,

f ( x ) = x 2 - 4 x - 1

Vemos que o polinômio de cima tem grau 2, e o grau do polinômio de baixo é 1, ou seja, o de cima tem um grau a mais que o de baixo, então f ( x ) possui assíntota oblíqua.

Passo 2

O segundo passo é dividir o polinômio de cima pelo polinômio de baixo e podemos fazer armando uma conta de dividir como aprendemos quando éramos criança

Para isso precisamos lembrar que em uma divisão de polinômios é um pouco diferente da normal, o termo que fica no quociente multiplica todos o termo do dividendo e o resultado

dessa multiplicação inverte de sinal,

Queremos cancelar o x 2 , colocamos x   no quociente, pois quando multiplicássemos ele por x - 1   o resultado - x 2 + x pois inverte o sinal, e assim cancelaria o x 2 sobrando apenas o x - 4 . Continuando a conta com a mesma regra,

Passo 3

O segundo passo é reescrever x 2 de acordo com o que obtemos na divisão do item 1, ou seja,

x 2 - 4 = x + 1 - 3 x - 1

Onde h x = x + 1 é linear e k x = - 3 x - 1 é o resto

Estamos interessados em saber se quando o limite de x → ± ∞ o k ( x ) (resto) vai para zero, quando isso acontece significa que a distância entre f ( x ) e h ( x ) é quase zero. Então vamos verificar.

Conseguiremos fazer isso dividindo f ( x ) pela maior potência de x ,

l i m x → ± ∞ - 3 x - 1 = l i m x → ± ∞ - 3 x - 1 = l i m x → ± ∞ - 3 x x x - 1 x = l i m x → ± ∞ - 3 x 1 - 1 x

utilizando a regra do quociente (o limite da divisão é a divisão dos limites) e a regra da subtração (limite da subtração é a subtração dos limites),

l i m x → ± ∞ - 3 x 1 - 1 x = l i m x → ± ∞ - 3 x l i m x → ± ∞ 1 - 1 x = l i m x → ± ∞ - 3 x l i m x → ± ∞ 1 - l i m x → ± ∞ 1 x = 0 1 - 0 = 0 1 = 0 .

Como o limite deu zero, então h ( x ) é uma assíntota oblíqua para f ( x ) . E podemos reescrever f ( x ) como a soma da h x + k ( x ) , ou seja,

f x = x 2 - 4 x - 1 = x + 1 - 3 x - 1

Passo 4

Perceba que o denominador da função se anula para x = 1 . Então temos um assíntota vertical.

Vejamos que acontece com a função à direita e à esquerda desse ponto. Ou seja, vamos calcular lim x  → 1 + ⁡   f ( x ) e lim x  → 1 - ⁡   f ( x ) .

Bora lá,

lim x  → 1 + ⁡   f ( x ) =   l i m x   → 1 + x 2 - 4 x - 1

utilizando a regra do quociente (o limite da divisão é a divisão dos limites) e a regra da subtração (limite da subtração é a subtração dos limites),

l i m x   → 1 + x 2 - 4 x - 1 = l i m ⁡ ( x   → 1 + x 2 - 4 ) l i m x   → 1 + x - 1 = l i m x   → 1 + x 2 - l i m x   → 1 + 4 l i m x   → 1 + x - l i m x   → 1 + 1 = - 3 1 - 1

Vamos analisar se esse limite vai para ou - ∞ . Beleza?

Como estamos nos aproximando de 1 pela direita, ou seja, valores maiores que um, o denominador fica positivo. E assim, teríamos,

- 3 p o s i t i v o = n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o  

Passo 5

Por outro lado, usando as mesmas regras, lim x  → 1 - ⁡   f ( x ) =   l i m x   → 1 - x 2 - 4 x - 1

utilizando a regra do quociente (o limite da divisão é a divisão dos limites) e a regra da subtração (limite da subtração é a subtração dos limites),

l i m x   → 1 - x 2 - 4 x - 1 = l i m x   → 1 - ( x 2 - 4 ) l i m x   → 1 + x - 1 = l i m x   → 1 - x 2 - l i m x   → 1 - 4 l i m x   → 1 - x - l i m x   → 1 - 1 = - 3 1 - 1

Vamos analisar se esse limite vai para ou - ∞ . Beleza?

Como estamos nos aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que um, o denominador fica negativo. E assim, teríamos,

- 3 n e g a t i v o = n e g a t i v o n e g a t i v o = p o s i t i v o  

Resposta

f x = x 2 - 4 x - 1 = x + 1 - 3 x - 1

h x = x + 1 é uma assíntota para f x . E x=1

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