Enunciado

  1. Faça o gráfico das funções f x = 3 / ( x - 1 ) e g x = 2 / ( x + 1 ) juntas para identificar os valores de x para os quais
  2. 3 x - 1 < 2 x + 1

  3. Confirme algebricamente sua resposta no item ( a )

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos para ser resolvida. Sendo assim, utilizaremos de softwares para obtermos o gráfico da função. Após obtermos estes gráficos, vamos visualizar a informação que a inequação nos diz. Após isto, para provar algebricamente o que descobrimos na letra ( a ) , vamos ter de desenvolver a inequação, e assim descobrir quais os valores de x que as satisfazem.

Passo 2

Vamos começar por obter o gráfico das funções dos dois membros, isto é:

f x = 3 x - 1

g x = 2 x + 1

Observe abaixo o gráfico das duas funções.

Se dermos um aumento antes do ponto A , interseção das duas curvas, temos:

A inequação nos pede para encontrar os valores de x tais que a função f ( x ) (em verde) é menor que a função g ( x ) (em azul). Graficamente isto corresponde aos pontos em que a curva verde está abaixo da azul. Desta forma, estes pontos correspondem ao intervalo de - ∞ ao ponto A (a partir deste, a curva verde está acima da azul, e de - 1 até 1. Portanto, como as coordenadas do ponto A são ( - 5 ; 0.5 ) , valores obtidos graficamente, a solução da inequação é:

x ∈ ( - ∞ , - 5 ) ∪ ( - 1,1 )

Passo 3

Agora, vamos provar matematicamente. Então, temos:

3 x - 1 < 2 x + 1

3 x - 1 - 2 x + 1 < 0

3 x + 1 - 2 ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) < 0

x + 5 ( x - 1 ) ( x + 1 ) < 0

Para resolvermos esta inequação, vamos utilizar a seguinte ideia: a divisão de dois números negativos é um número positivo enquanto a divisão de um número negativo por um positivo é um número negativo. Esta ideia é a base do que iremos fazer. Vamos determinar os intervalos em que cada uma das funções ( x + 5 ) , ( x - 1 ) e ( x + 1 ) são positivas e negativas. Depois, vamos multiplicar o sinal de cada uma delas. Se o resultado for negativo, a inequação toda será menor que zero. Caso contrário, será maior que zero. Vejamos então todos estes sinais na seguinte tabela:

Portanto, a solução da inequação é:

x ∈ ( - ∞ , - 5 ) ∪ ( - 1,1 )

Resposta

x ∈ ( - ∞ , - 5 ) ∪ ( - 1,1 )

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Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico: f x = 2 x - x ⟦ ⟧
Se f ( a - x ) = f ( a + x ) , mostre que g ( x ) = f ( x + a ) é uma função par.
Determine o domínio da função f ( x ) = e 1 x 2 .
Determine o domínio da função h ( x ) = s e n - 1 ( x 3 ) .
Determine o domínio da função f ( x ) = π - s e n - 1 x .