Enunciado

Determine o domínio e a imagem da função e desenhe um esboço do seu gráfico:

f x = 2 x - x

Passo 1

Vamos começar entendendo que diamos é aquela função x , isso serve para o maior inteiro, menor ou igual a x .

Essa é a função maior inteiro, você precisa determinar qual o intervalo de inteiror o número está. Por exemplo:

x = 1,2 → 1 < x < 2 → 1,2 = 1

x = 3 , 2 222 → 3 < x < 4 → 3 , 2 222 = 3

x = - 1 , 009 → - 2 < - 1,009 < - 1 → - 1,009 = - 2

De forma geral, temos

n ≤ x < n + 1 → x = n

Vai ter um valor constante em cada intervalo de inteiros.

Vamos entender o domínio da função agora. Tanto 2 x quando x existem para qualquer valor de x .

Então

D f x = R

Passo 2

Para entendermos a imagem, precisamos ver como sera a função em cada intervalo de inteiros, isso porque a x funciona desse jeito.

f x = 2 x - x

Vamos pegar um intervalo qualquer de inteiros:

n ≤ x < n + 1 → x = n

Assim a nossa f x fica:

f x = 2 x - n

Que é uma reta. Essa reta começa em x = n inclusive, e termina em x = n + 1 , sem incluir esse número.

f n = 2 n - n = n

f n + 1 = 2 n + 1 - n = 2 n + 2 - n = n + 2

Entao ela começa em n e termina em n + 2 .

O intervalo seguinte começa em n + 1 , que é o próximo inteiro e termina em n + 3 .

Repare que qualquer valor nos reais vai estar entre dois interios com essa diferença. Então a imagem são os próprios reais.

I m f x = R

Passo 3

Vamos fazer o esboço

Para isso fazer as retas que vimos no último passo, em cada intervalo de inteiros.

Resposta

D f x = R

I m f x = R

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