Enunciado

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função y = - 3 x - 3 .

Perceba que o ponto x = 3   não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → 3 - ⁡   - 3 x - 3 .  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → 3 - ⁡   - 3 x - 3 =     ⁡     ⁡     l i m x → 3 - - 3 l i m x → 3 - ( x - 3 ) .  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → 3 - ⁡   - 3 x - 3 =     ⁡     ⁡     l i m x → 3 - - 3 l i m x → 3 - ( x - 3 ) =     ⁡     l i m x → 3 - - 3 l i m x → 3 - x - l i m x → 3 - 3

Perceba que -3 e 3 não dependem de x, então l i m x → 3 - - 3 = 1 - 3   ,   l i m x → 3 - 3 = 3

Substituindo os limites, temos

  ⁡     l i m x → 3 - - 3 l i m x → 3 - ( x - 3 ) = - 3 3 - 3   = - 3 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de 3 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos retirando 3 de números menores que 3, o que significa dizer que teremos:

- 3 n e g a t i v o = n e g a t i v o n e g a t i v o = p o s i t i v o

Sendo assim, lim x → 3 - ⁡   - 3 x - 3 =   ∞

Passo 2

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → 3 + ⁡   - 3 x - 3  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → 3 + ⁡   - 3 x - 3 =     ⁡     ⁡     lim x → 3 + ⁡   - 3 lim x → 3 + ⁡   x - 3 =     ⁡     lim x → 3 + ⁡   - 3 lim x → 3 + ⁡   - lim x → 3 + ⁡   3 =   - 3 0

Perceba que agora estamos nos aproximando de 3 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos retirando 3 de números maiores que 3, então teremos

- 3 p o s i t i v o = n e g a t i v o p o s i t i v o = n e g a t i v o

Daí, lim x → 3 + ⁡   - 3 x - 3   = - ∞

Passo 3

Logo, temos uma assíntota x = 3 , na qual a função explode negativamente à direita deste ponto e à esquerda positivamente, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Resposta

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51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.52. lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0
43-46. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em + ∞ . Encontre um número positivo N tal que f x - Lϵ se xN .43. lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0 ;ϵ = 0,01
59-64. Use as Definições 1.4.4 ou 1.4.5 para provar que o limite dado está correto.61. lim x → 0 ⁡ 1 x = + ∞
43-46. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em + ∞ . Encontre um número positivo N tal que f x - Lϵ se xN .46. lim x → + ∞ ⁡ 4 x - 1 2 x + 5 = 2 ;ϵ = 0,1
43-46. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f em + ∞ . Encontre um número positivo N tal que f x - Lϵ se xN .44. lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 2 = 0 ;ϵ = 0,005