Enunciado

Faça o gráfico, inclua as equações das assíntotas e dos termos dominantes

Passo 1

Vamos analisar a função y = 1 2 x + 4 .

Perceba que o ponto x = - 2   não causa um estrago na função, pois ela explode. Então ele é nossa assíntota vertical beleza ?

Precisamos saber como a função se comporta a direita e à esquerda desse ponto, então vamos analisar primeiro à esquerda dele , isto é,

lim x → - 2 - ⁡   1 2 x + 4 .  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é quociente dos limites),

lim x → - 2 - ⁡   1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - ( 2 x + 4 )  

Usando a regra da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

lim x → - 2 - ⁡   1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - ( 2 x + 4 ) =     ⁡   l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - 2 x + l i m x → - 2 - 4

Perceba que 1 não depende de x, então l i m x → - 2 -   1 = 1 .

Substituindo os limites, temos

l i m x → - 2 - 1 l i m x → - 2 - 2 x + l i m x → - 2 - 4 = 1 - 4 + 4   = 1 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de - 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar negativo, já que estamos adicionando 4 a números menores que -2, o que significa dizer que teremos:

1 n e g a t i v o = p o s i t i v o n e g a t i v o = n e g a t i v o

Sendo assim, lim x → - 2 - ⁡   1 2 x + 4 =   - ∞

Passo 2

Agora vamos ver como a função se comporta à direita a desse ponto, isto é,

lim x → - 2 + ⁡   1 2 x + 4  

Usando as mesmas regras, na mesma ordem que fizemos anteriormente,

lim x → - 2 + ⁡   1 2 x + 4 =     ⁡   l i m x → - 2 + 1 l i m x → - 2 + ( 2 x + 4 ) =     ⁡   l i m x → - 2 + 1 l i m x → - 2 + 2 x + l i m x → - 2 + 4

Perceba que agora estamos nos aproximando de - 2 pela direita, ou seja, valores maiores que ele. Sendo assim, nosso denominador tende a ficar positivo, já que estamos adicionando 4 a números maiores que -2, então teremos

1 p o s i t i v o = p o s i t i v o p o s i t i v o = p o s i t i v o

Daí, lim x → - 2 + ⁡   1 2 x + 4 = ∞

Passo 3

Logo, temos uma assíntota x = - 2 , na qual a função explode positivamente à direita deste ponto e à esquerda, o qual pode ser visto conforme o gráfico:

Resposta

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57. c) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 3 , tal que, para cada ponto x do intervalo, diferente de 3 , o valor da função f x = - 1 x - 3 2 é menor do que - 1000 .
58. Em cada parte, encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .a) M = 10
58. Em cada parte, encontre o maior intervlao aberto, centrado no ponto x = 1 , tal que, para cada ponto x do intervalo diferente do centro, o valor de f x = 1 x - 1 2 é maior do que M .c) M = 100000
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. a) lim x → 1 + ⁡ 1 1 - x = - ∞
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 3 = + ∞