Enunciado

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Fazer um esboço do gráfico de f , determinando:

. Os extremos relativos de f ;

. Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

. Os intervalos onde f é crescente e aqueles nos quais f é decrescente;

. Onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

Da função x + 2 3 + 2

Passo 1

Legal gente, sem pânico! Temos milhões de coisas pra calcularmos, então vamos ser organizados e dividir tudo em pequenos passos de cada vez. A primeira coisa que a questão nos pede, é que determinemos os extremos relativos de f. Para isso, temos que:

  1. Fazer a primeira derivada e igualar a 0 para achar um c
  2. Fazer a segunda derivada e realizar um teste para determinamos se é um extremo ou mínimo relativo.

Então, nossa função é dada por:

x + 2 3 + 2

Derivando e igualando a 0, temos que:

3   2   +   x 2 = 0

Resolvendo essa equação, temos que a raíz é:

x 1 =   - 2

Então temos 1 C. Vamo aos testes! A segunda derivada da função é igual a:

6   2 + x

Aplicando x 1   , temos que:

-p/ x 1 :

6 2 - 2 =   0

Para esse caso, pode-se afirmar que não existem nem máximos ou mínimos relativos.

Passo 2

Ufa, primeira parte já foi! Para a segunda parte, precisamos definir o nosso ponto de inflexão. Resumindo, vamos derivar 3 vezes e achar esses pontos? PREPARADOS? SIMBORA!

f ' x = 3   2   +   x 2

f ' ' x = 6   2 + x

Neste ponto, igualamos a 0 e temos nossos primeiros candidatos a pontos de inflexão.

6   2 + x = 0

x 1 =   - 2

Agora vamos derivar pela terceira vez, se essa derivada for diferente de 0, os nossos candidatos a pontos de inflexão são realmente pontos de inflexão.

f ' ' ' x = 6

Logo, nosso ponto (-2,2) é um ponto de inflexão.

Passo 3

E vamos seguindo o rumo galera! Para determinamos a região aonde a nossa curva cresce e decresce, é bem simples. Derivamos uma vez, achamos os 0 e comparamos os intervalos dos 0. Como assim? Vamos lá.

Para a nossa função, temos que a primeira derivada é igual a

3   2   +   x 2 = 0

As raízes dessa equação correspondem somente a - 2 .

Então, analisando antes de -2, nossa função fica positiva, indicando crescimento da função. Analisando depois de -2, também nossa função fica positiva, indicando crescimento da função.

Passo 4

Como só temos 1 ponto de inflexão, só temos 1 regiao côncava e outra convexa, respectivamente indo de ( - ∞ ,   - 2 ) e ( 2 , ∞ ) .

Resposta

Não existem máximos ou mínimos relativos

Ponto de inflexão ( - 2 , 2 ) .

Crescente para x < - 2 e para x > - 2

Côncava para x < - 2   e convexa para x > - 2

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Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são
Faça um esboço cuidadoso de f e abaixo dele esboce o gráfico de f ’ co
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Trace o gráfico da função f x = { x 2   ,       -
Esboce o gráfico de f à mão e use seu esboço para encontrar os valores