Enunciado

A figura a seguir mostra uma pessoa puxando um barco por uma corda de comprimento a amarrada na proa e andando na beirada de um cais. Supondo que a corda esteja sempre tangente à curva traçada pela proa, então essa curva, que é chamada de tractriz, tem a propriedade de que o segmento da reta tangente entre ela e o eixo y tem comprimento constante a . Pode-se provar que a equação dessa tractriz é:

y = a arcsech ⁡ x a - a 2 - x 2

(a) Mostre que, para mover a proa do barco até um ponto ( x ,   y ) , a pessoa precisa andar uma distância de

D = a arcsech ⁡ x a

(b) Se a corda tiver um comprimento de 15 m, quanto a pessoa precisará andar a partir da srcem para trazer o barco a 10 m do cais? Arredonde sua resposta para duas casas

decimais.

(c) Encontre a distância percorrida pela proa ao longo da tractriz quando ela se move de sua posição inicial para um ponto que está a 5 m do cais.

Passo 1

Bom, para resolvermos o item (a), analisamos que quando a proa do barco está no ponto ( x ,   y ) e a pessoa percorreu uma distância D , então a pessoa está localizada no ponto ( 0 ,   D ) , o segmento de linha conectando ( 0 ,   D ) e ( x   ,   y ) tem comprimento a .

Portanto,

a 2 = x 2 + D - y 2

Isolando D :

D = y + a 2 - x 2 = a arcsech ⁡ x a

Passo 2

Esse item (b) só precisamos encontrar D quando a = 15 e x = 10 , assim:

D = 15 × arcsech ⁡ 10 15

= 15 × ln ⁡ 1 + 5 9 2 3

D = 14,44   m

Passo 3

Para respondermos o item (c), começamos derivando a expressão da distância:

d d x a arcsech ⁡ x a = - a 2 x a 2 - x 2 + x a 2 - x 2

= 1 a 2 - x 2 - a 2 x + x

= 1 x a 2 - x 2

Portanto, temos:

1 + y ' 2 = 1 + a 2 - x 2 x 2 = a 2 x 2

Sendo a = 15 e x = 5 , logo,

L = ∫ 5 15 225 x 2 d x = - 225 x 5 15 = 30   m

Prontinho!!

Resposta

(a)   D = a arcsech ⁡ x a

(b) D = 14,44   m

(c) L = 30   m

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Aproxime a expressão até quatro casas decimais. (a) c o s s e c h( - 1 ) (b) s e c h( l n2 ) (c) c o t g h1 (d) a r cs e c h (e)a r cc o t g h3 (f) a r cc o s s e c h( - 3 )
Encontre o valor numérico exato de cada expressão.(a) sinh ⁡ ( ln ⁡ 3 ) (b) cosh ⁡ - ln ⁡ 2 (c) tanh ⁡ 2 ln ⁡ 5 (d) sinh ⁡ ( - 3 ln ⁡ 2 )
Encontre dy/dx. y = sech ⁡ e 2 x
Obtenha as fórmulas das derivadas para csch ⁡ x , sech ⁡ x e coth ⁡ x das fórmulas de derivação para sinh ⁡ x , cosh ⁡ x e tanh ⁡ x .
Em cada parte, reescreva a expressão como uma razão de polinômios.(a) cosh ⁡ ( ln ⁡ x ) (b) sinh ⁡ ( ln ⁡ x ) (c) tanh ⁡ ( 2 ln ⁡ x ) (d) cosh ⁡ ( - ln ⁡ x )