Enunciado

a. Fluxo exterior e área Mostre que o fluxo exterior do campo vetorial de posição F = x i + y j através de qualquer curva fechada à qual o teorema de Green se aplica é duas vezes a área da região delimitada pela curva.

b. Seja n o vetor normal unitário exterior a uma curva fechada à qual o teorema de Green se aplica. Mostre que não é possível para F = x i + y j ser ortogonal a n em todo ponto de C.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Para M = x e N = y temos que o campo vetorial pode ser escrito como F = M i + N j . Vamos assumir que C é uma curva fechada envolvendo uma região R que satisfaz as propriedades requeridas para aplicar o Teorema de Green. Portanto, do Teorema 5 o fluxo é dado por

∮ F ∙ n   d s = ∬ ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y   d A

Desenvolvendo os termos

∮ F ∙ n   d s = ∬ d x d x + d y d y   d A

Com isso, nós temos que

∮ F ∙ n   d s = 2 ∬ d A = 2 A

Onde A é a área da região R delimitada por C .

Passo 2

B - Podemos notar que se C é uma curva fechada com as propriedades indicadas no exercício, então a área da região delimitada por C   é

A = ∬ d A > 0

Agora, se F é ortogonal ao vetor normal n em todos os pontos da curva, então

∮ F ∙ n   d s = ∮ 0 ∙ d s = 0

Uma vez que F ∙ n = 0 . No entanto, da parte a) o fluxo é 2A. Desta forma,

2 A = 0 → A = 0

Isso é uma contradição, portanto existe pelo menos um ponto P na curva onde F ∙ n ≠ 0 . Em outras palavras, neste ponto F e n não são ortogonais.

Resposta

Respondido acima!!!

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