Calcule

∫ C   x 2 d x + y z d y + y 2 / 2 d z

ao longo do segmento de reta C ligando (0,0, 0) a (0,3, 4)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício você vai ter que calcular a integral de linha ∫ C   x 2 d x + y z d y + y 2 2 d z ao longo do seguimento de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,3 , 4 ) .Para isso utilize a descrição teórica da página 372 e 373 do seu livro.

Passo 2

Inicialmente você deve encontrar o vetor posição ao longo do caminho de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,3 , 4 ) :

r → = r → 0 + r → ( t ) = ( 0 i → + 0 j → + 0 k → ) + [ ( 0 i → + 3 j → + 4 k → ) - ( 0 i → + 0 j → + 0 k → ) ] t = t ( 3 j → + 4 k → ) r → = ( 3 j → + 4 k → ) t ,  com  0 ≤ t ≤ 1 .

Em seguida, expresse tudo em termos do parâmetro t .Então, você descobrirá que:

x = 0 , y = 3 t , z = 4 t . 

Passo 3

Dessa forma, definimos d x = 0 , d y = 3 d t , d z = 4 d t .Assim, ao substituir os novos valores de x , y , z e d x , d y , d z em ∫ C   x 2 d x + y z d y + y 2 2 d z , você vai obter o resultado final:

∫ 0 1   12 t 2 3 d t + 9 t 2 2 4 d t = ∫ 0 1   54 t 2 d t = 18 t 2 0 1 = 18

Resposta

∫ 0 1   12 t 2 3 d t + 9 t 2 2 4 d t = 18

Exercícios de Livros Relacionados