Enunciado

Um foguete que queima o combustível carregado dentro de si enquanto se move no espaço tem, no intante t , velocidade v t e massa m t . Se os gases provenientes da combustão escapam a uma velocidade de v e relativamente ao foguete, deduz-se da Segunda Lei de Newton do movimento que

m d v d t = d m d t v e

(a) Mostre que v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e .

(b) Para que, em linha reta, o foguete acelere do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases de combustão, que fração de sua massa inicial o foguete deverá queimar como combustível?

Passo 1

(a) Galera, vamos reescrever a equação de Newton assim:

d v = v e 1 m   d m

Agora vamos integrar os dois lados, do instante 0 até t :

∫ v ( 0 ) v ( t ) d v = v e ∫ m ( 0 ) m ( t ) 1 m   d m

v t 0 t = v e ln ⁡ m t 0 t

v t - v 0 = v e ln ⁡ m t - ln ⁡ m 0

v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e

Passo 2

(b) Colocando em termos de equação, o foguete acelerar do repouso para o dobro da velocidade escalar de escape de seus gases significa:

v t = 2 v e                   e                     v 0 = 0

Vamos usar então a equação do item anterior para v t :

2 v e = v t = v 0 - ln ⁡ m 0 m t v e = 0 - ln ⁡ m 0 m t v e = ln ⁡ m 0 m t v e

Então,

2 v e = ln ⁡ m 0 m t v e

Passo 3

Show! Vamos tentar resolver a equação do passo anterior de modo a isolar a expressão m t m 0 , que representa a fração de combustível que ainda deve restar no foguete:

2 = ln ⁡ m 0 m t

m 0 m t = e 2

m t m 0 = e - 2

Então, a fração de combustível que deve ser consumida é:

m 0 - m ( t ) m ( 0 ) = 1 - m t m 0 = 1 - e - 2

Resposta

(b) 1 - e - 2 ≈ 86,47   %

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