Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 0 1 / 2 x 3 arctg ⁡ x d x ,   ( 4   c a s a s   d e c i m a i s )

Com o auxílio da Tabela 1, temos que, para x < 1 :

arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Passo 2

Dessa forma, para x < 1 :

x 3 arctg ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 4 2 n + 1

Com isso, a integral é dada por:

∫ x 3 arctg ⁡ x d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 5 ( 2 n + 1 ) 2 n + 5

Passo 3

Sendo assim, como x = 1 / 2 < 1 , temos:

∫ 0 1 / 2 x 3 arctg ⁡ x d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 1 / 2 ) 2 n + 5 ( 2 n + 1 ) 2 n + 5

= 1 2 5 1.5 - 1 2 7 3.7 + 1 2 9 5.9 - 1 2 11 7.11 + …

Somando os três primeiros termos, temos:

1 2 5 1.5 - 1 2 7 3.7 + 1 2 9 5.9 = 0,0059

O quarto termo possui o valor de:

1 2 11 7.11 = 6,3.10 - 6

Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas:

∫ 0 1 / 2 x 3 arctg ⁡ x d x = 0,0059

Resposta

∫ 0 1 / 2 x 3 arctg ⁡ x d x = 0,0059

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