Enunciado

Qual a força necessária para que uma partícula de massa m tenha a função posição r → t = t 3 i → + t 2 j → + t 3 k → ?

Passo 1

Olá, tudo bem? Você lembra que a força está relacionada com a aceleração, certo? Assim ó:

F → = m . a →

Beleza! Mas, e a aceleração? Ela é a variação da velocidade em um determinado tempo!

a → = Δ v → Δ t

Mas o problema dá uma função posição em função do tempo! Daí temos que lembrar lá da física: quando temos uma função que descreve a posição em função do tempo e esse intervalo de tempo é bem pequenininho, dizemos que a velocidade é a derivada temporal da posição:

v → = d r → d t

Por sua vez, se a aceleração também for calculada em um tempo bem pequenininho, podemos dizer que a aceleração é a derivada temporal da velocidade:

a → = d v → d t

Ta, e agora?? Ah! Agora vem o pulo do gato! Vou substituir a representação de velocidade em função da posição na aceleração. Mas como assim? Assim ó:

a → = d d t   d r → d t

Mas que coisa estranha! Mas é assim mesmo! Dizemos que a aceleração é a derivada segunda da posição em função do tempo! Olha só:

a → = d 2 r → d t 2

Tá, resumo da ópera: para achar a aceleração vamos derivar duas vezes a função posição!

Passo 2

A função posição é dada por:

r → t = t 3 i → + t 2 j → + t 3 k →

Derivando uma vez em relação ao tempo temos:

d r → d t = 3 t 2 i → + 2 t j → + 3 t 2 k →

E derivando uma segunda vez:

d 2 r → d t 2 = 3.2 t i → + 2 j → + 3.2 t k → = ( 6 t , 2,6 t )

Assim a aceleração vai ser:

a → = 6 t i → + 2 j → + 6 t k → = ( 6 t , 2,6 t )

Passo 3

Já que temos o vetor aceleração a → = 6 t , 2,6 t e a massa m , podemos calcular a força:

F → = m . a → = m 6 t , 2,6 t = 6 m t i → + 2 m j → + 6 m t k →

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

6 m t i → + 2 m j → + 6 m t k →

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Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. x = e t ,y = t e t ,z = t e t 2 ; ( 1,0 , 0 )