Enunciado

Utilize a fórmula que aparece no exercício 43 da seção 12.4 para determinar a distância do ponto à reta dada.

4,1 , - 2 ;             x = 1 + t ,         y = 3 - 2 t ,           z = 4 - 3 t

Passo 1

Olá, tudo bem? O exercício que o problema fala diz que a distância d de um ponto P (não pertencente à reta) até a reta L é

d = a → × b → | a → |

Onde os vetores a → e b → são:

a → = Q R →

b → = Q P →

Onde a reta L passa pelos pontos Q e R .

Passo 2

Agora temos que identificar aqui os valores. Nosso ponto não pertencente P é ( 4 , 1 , - 2 ) .

Os outros dois pontos Q   e R podem ser determinados a partir da equação da reta dada, fazendo variar o valor do parâmetro t . Assim ó:

Com t = 0 : Q = 1 , 3,4

Com t = 1 : R = ( 2,1 , 1 )

Certo até aqui?

Passo 3

Agora vou calcular quem são esses vetores a → e b → . Vai lá no passo 1 e dá uma espiada na definição desses vetores:

a → = Q R →

b → = Q P →

Agora é só substituir os pontos que achamos no passo 2 :

a → = Q R → = R - Q = 2,1 , 1 - 1,3 , 4 = ( 1 , - 2 , - 3 )

b → = Q P → = P - Q = 4,1 , - 2 - 1,3 , 4 = ( 3 , - 2 , - 6 )

Passo 4

Agora podemos calcular o produto vetorial entre a → e b → :

a → × b → = i → j → k → 1 - 2 - 3 3 - 2 - 6 = i → 12 - 6 + j → - 9 + 6 + k → ( - 2 + 6 )

a → × b → = ( 6 , - 3,4 )

E o módulo é:

| a → × b → | = 6 2 + - 3 2 + 4 2 = 61

E o módulo do vetor a → é:

a → = 1 2 + - 2 2 + - 3 2 = 14

Passo 5

Ufa! Agora sim podemos calcular a distância d . Lá do passo 1 , a fórmula é:

d = a → × b → | a → |

d = 61 14 = 2,08

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

2,08

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