Enunciado

(a) Se f e f ' forem seccionalmente contínuas em - L → x < L e se f for periódica com período 2 L , mostre que n a n e n b n permanecerão limitadas quando n → ∞ .

(b) Se f for contínua em - L ≤ x ≤ L e periódica com período 2 L , e se f ' e f ' ' forem seccionalmente contínuas em - L ≤ x ≤ L , mostre que n 2 a n e n 2 b n permanecerão limitadas quando n → ∞ . Se f for contínua no intervalo fechado, então será contínua para todo x . Por que isso é importante?

(c) Usando o resultado do item (b), mostre que

∑ n = 1 ∞ a n

E

∑ n = 1 ∞ b n

Convergem.

(d) Do resultado no item (c), mostre que a série de Fourier

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

converge absolutamente para todo x .

Passo 1

Vamos começar com o item (a). Se f x é uma função periódica podemos escrevê-la como uma série de Fourier:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Se derivarmos f ( x ) em relação a x :

d f d x = f ' = d d x ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

f ' = ∑ n = 1 ∞ a n d d x cos ⁡ n π x L + b n d d x sen ⁡ n π x L

f ' = π L ∑ n = 1 ∞ - n a n s en ⁡ n π x L + n b n cos ⁡ n π x L

Para qualquer valor de n , as funções sen ⁡ n π x L e cos ⁡ n π x L apenas terão valores - 1 , 0 e 1 . Então, para o caso em que sen ⁡ n π x L = ± 1 e cos ⁡ n π x L = 0 :

f ' = ± π L ∑ n = 1 ∞ n a n

Como a derivada é seccionalmente contínua em - L < x < L , f ' ≠ ± ∞ dentro do intervalo, o que implica n a n é limitada. Analogamente, para o caso em que sen ⁡ n π x L = 0 e cos ⁡ n π x L = ± 1 :

f ' = ± π L ∑ n = 1 ∞ n b n

Usando o mesmo argumento, como a derivada é seccionalmente contínua em - L < x < L , f ' ≠ ± ∞ dentro do intervalo, o que implica n b n é limitada.

Passo 2

O item (b) nos pede agora para mostrar que n 2 a n e n 2 b n são limitadas. Seguindo o mesmo raciocínio, vamos começar calculando a segunda derivada de f ( x ) :

d 2 f d x 2 = d f ' d x = f ' '

f ' ' = d d x π L ∑ n = 1 ∞ - n a n sen ⁡ n π x L + n b n cos ⁡ n π x L

f ' ' = π L ∑ n = 1 ∞ - n a n d d x sen ⁡ n π x L + n b n d d x cos ⁡ n π x L

f ' ' = π 2 L 2 ∑ n = 1 ∞ - n 2 a n cos ⁡ n π x L - n 2 b n sen ⁡ n π x L

Para qualquer valor de n , as funções sen ⁡ n π x L e cos ⁡ n π x L apenas terão valores - 1 , 0 e 1 . Então, para o caso em que sen ⁡ n π x L = ± 1 e cos ⁡ n π x L = 0 :

f ' ' = ± π 2 L 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 a n

Como a segunda derivada é seccionalmente contínua em - L < x < L , f ' ' ≠ ± ∞ dentro do intervalo, o que implica n 2 a n é limitada. Analogamente, para o caso em que sen ⁡ n π x L = 0 e cos ⁡ n π x L = ± 1 :

f ' ' = ± π 2 L 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 b n

Usando o mesmo argumento, como a segunda derivada é seccionalmente contínua em - L < x < L , f ' ' ≠ ± ∞ dentro do intervalo, o que implica n 2 b n é limitada.

Passo 3

O item (c) nos pede para mostrar que os somatórios de a n e b n convergem. Pelo relação que encontramos no item (b):

f ' ' = ± π 2 L 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 a n

± L 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ n 2 a n

± ∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ a n

Aplicando o conceito da função módulo x = ( x 2 ) :

± ∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' 2 = ∑ n = 1 ∞ a n 2

∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ a n

Quando n → ∞ :

a n = 1 ∞ L 2 π 2 f ' ' → a n = 0

Como os termos a n tendem a zero para valores muito grandes de n , estes não possuem impacto no valor do somatório e, por isso, ∑ n = 1 ∞ a n converge.

Vamos agora usar o resultado do item (b) que encontramos para b n :

f ' ' = ± π 2 L 2 ∑ n = 1 ∞ n 2 b n

± L 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ n 2 b n

± ∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ b n

Aplicando o conceito da função módulo x = ( x 2 ) :

± ∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' 2 = ∑ n = 1 ∞ b n 2

∑ n = 1 ∞ L 2 n 2 π 2 f ' ' = ∑ n = 1 ∞ b n

Quando n → ∞ :

b n = 1 ∞ L 2 π 2 f ' ' → b n = 0

Como os termos b n tendem a zero para valores muito grandes de n , estes não possuem impacto no valor do somatório e, por isso, ∑ n = 1 ∞ b n converge.

Vamos agora o item (d). Ele nos pede para mostrar que a série de Fourier converge para qualquer valor de x . Vamos lá!!!

A série de Fourier é uma equação da forma:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

As funções cos ⁡ n π x L e sen ⁡ n π x L possuem valor máximo de ± 1 , sendo que quando cos ⁡ n π x L = ± 1 , sen ⁡ n π x L = 0 , e vice-versa. Certo? Então, o valor máximo da função será:

f x = a 0 2 ± ∑ n = 1 ∞ a n

Ou

f x = a 0 2 ± ∑ n = 1 ∞ b n

Como acabamos de mostrar no item (c):

∑ n = 1 ∞ a n

E

∑ n = 1 ∞ b n

Convergem. Como a função módulo f x = x é maior ou igual que a função g x = x para todos os valores de x , então

a n ≥ a n

b n ≥ b n

Como o somatório dos módulos de a n e b n convergem, então

∑ n = 1 ∞ a n

E

∑ n = 1 ∞ b n

Também convergem. Então, a série de Fourier também irá convergir para qualquer valor de x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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