Enunciado

Uma função f é dada.

a) Determine os valores de k tais que lim x → k ⁡ f ( x ) > 0 .

b) Ache todos os intervalos abertos a ,   b contendo um valor particular de k que satisfaçam a parte a) tais que f ( x ) < 0 para todo x ≠ k em a ,   b .

c) Faça um esboço do gráfico de f e mostre no gráfico a interpretação geométrica dos resultados das partes a) e b).

f x = x 2 - 25 x 2 - 4 x - 5

Passo 1

a)

lim x → k ⁡ f ( x ) = k 2 - 25 k 2 - 4 k - 5 > 0

Aplicando o caso 1 temos que

k 2 - 25 > 0   e   k 2 - 4 k - 5 > 0

k 2 > 25   e   ( k + 1 ) ( k - 5 ) > 0

k > 5   e   ( k + 1 ) ( k - 5 ) > 0

Aplicando o caso 1 em ( k + 1 ) ( k - 5 )

k + 1 > 0   e   k - 5 > 0

k > - 1   e   k > 5

Aplicando o caso 2 em ( k + 1 ) ( k - 5 )

k + 1 < 0   e   k - 5 > 0

k < - 1   e   k < 5

Assim lim x → k ⁡ f ( x ) > 0 sempre que k estiver nos intervalos - ∞ , - 5   - 1 ,   5 e 5 ,   + ∞

Resposta

a) lim x → k ⁡ f ( x ) > 0 sempre que k estiver nos intervalos - ∞ , - 5   - 1 ,   5 e 5 ,   + ∞

b) Como f ( x ) > 0, somente se x < - 5 ou - 1   < x < 5 ou x > 5 , os intervalos abertos requeridos a ,   b contendo k e tais que f ( x ) > 0 são aqueles para os quais a < k e k < b ≤ - 5 ou k > a ≥ - 1 e k < b ≤ 5 ou k > a ≥ 5 e b > k .

c)

O ponto B marca onde há descontinuidade quando x = 5

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