Enunciado

Dado uma função g e um número c .

a) Mostre que lim x → c ⁡ g ( x ) < 0 .

b) Verifique o Teorema 2.10.2 para a função g , encontrando um intervalo aberto contendo c , tal que g ( x ) < 0 para todo x ≠ c no intervalo.

g x = 2 - 4 + x x ;   c = 0

Passo 1

  1. Por se tratar de uma indeterminação vamos aplicar uma manipulação no limite de forma a não alterar o seu resultado.

lim x → 0 ⁡ 2 - 4 + x x = lim x → 0 ⁡ 2 - 4 + x x ∙ 2 + 4 + x 2 + 4 + x  

=   lim x → 0 ⁡ 4 - ( 4 + x ) x 2 + 4 + x

=   lim x → 0 ⁡ - x x 2 + 4 + x

=   lim x → 0 ⁡ - 1 2 + 4 + x

=   - 1 2 + 4 + 0

= - 1 4 < 0

Passo 2

b) Aplicando o caso 2 temos que

2 - 4 + x < 0   e   x > 0

2 < 4 + x   e   x > 0

4 < 4 + x   e   x > 0

0 < x   e   x > 0

Como não pode ocorrer 4 + x < 0 temos outro valor que limita o conjunto

4 + x > 0

4 + x > 0

x > - 4

Assim o conjunto solução é - 4 ,   0   e   0 ,   + ∞

Resposta

a)

lim x → 0 ⁡ 2 - 4 + x x = - 1 4 < 0

b)

O conjunto solução é - 4 ,   0   e   0 ,   + ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado para a equação dada.
Use a continuidade para avaliar o limite.
Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.
Prove, sem usar gráficos, que o gráfico da função tem pelo menos dois pontos interceptando o eixo x no intervalo especificado.
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz no intervalo especificado para a equação dada.