Enunciado

Para a função densidade de probabilidade normal padrão, determine a probabilidade de que uma escolha ao acaso de x esteja no intervalo [ - 3 ,   3 ] . Aproxime o valor da integral definida usando

  1. A regra de Simpson, com n = 6 .

Passo 1

A função densidade de probabilidade normal padrão é dada a seguir:

f x = 1 2 π e - 1 2 x 2

Para encontrarmos a probabilidade de que uma escolha ao acaso estaja no intervalo [ - 3 ,   3 ] devemos integrar a função densidade de probabilidade no intervalo [ - 3 ,   3 ] . Queremos então achar o valor de:

∫ - 3 3 1 2 π e - 1 2 x 2 d x

Passo 2

A regra de Simpson com n = 6 aproxima uma integral em um intervalo [ a ,   b ] pela seguinte fórmula:

∫ a = x 0 b = x 6 f x d x = h 3 ( f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + 2 f x 4 + 4 f x 5 + f x 6 )

Sendo h = b - a 6 e x i = x 0 + i ⋅ h . Como a = x 0 = - 3 e b = x n = 3 , o valor de h é:

h = 3 - ( - 3 ) 6 = 1

Os valores de x i serão então x i = - 3 + i :

x 0 = - 3 ; x 1 = - 2 ; x 2 = - 1 ; x 3 = 0 ; x 4 = 1 ; x 5 = 2 ; x 6 = 3

A integral aproximada é então:

1 3 f - 3 + 4 f - 2 + 2 f - 1 + 4 f 0 + 2 f 1 + 4 f 2 + f 3

= 1 3 2 π ( e - - 3 2 2 + 4 e - - 2 2 2 + 2 e - - 1 2 2 + 4 e 0 + 2 e - 1 2 2 + 4 e - 2 2 2 + e - 3 2 2 ) = 1,0015

Como o valor deu maior que 1, podemos notar que esse método do cálcul de integral não é adequado para o cálclo de probabilidades perto de 100%, pois possui um erro muito grande e pode gerar valores de probabilidade absurdos.

Resposta

∫ - 3 3 1 2 π e - 1 2 x 2 d x ≈ 1,0015

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se a equação do movimento é s = c o s 2 t + 2 s e n 2 t , prove que o movimento é harmônico simples.
Se A unidades quadradas for a área de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos têm x unidades de comprimento, ache (a) a taxa média de variação de A em relação a x quando x varia de 8,00 para 8,
Um reservatório tem 80 m de comprimento e sua secção transversal é um trapézio isósceles com lados iguais de 10m, uma base superior de 17 m e uma base inferior de 5m. Quando a água tiver 5m de profund
Se y = x 2 3 , ache a taxa relativa de variação de y em relação a x quando (a) x = 8 e (b) x = c , onde c é uma constante.
O rendimento total recebido da venda de x lâmpadas é R ( x ) e R x = 100 x - 1 6 x 2 . Ache (a) a função rendimento marginal; (b) o rendimento marginal quando x = 15 ; (c) o rendimento real da venda d