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Se A unidades quadradas for a área de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos têm x unidades de comprimento, ache (a) a taxa média de variação de A em relação a x quando x varia de 8,00 para 8,01; (b) a taxa de variação instantânea de A em relação a x, quando x é 8,00

Passo 1

Bom, para encontrarmos as duas taxas pedidas, vamos precisar encontrar primeiro a equação que descreve a área do nosso triângulo. Como sabemos q ele é retângulo, com os dois catetos com comprimento x, sabemos que a base do triângulo é a hipotenusa. Pelo Teorema de Pitágoras:

x 2 + x 2 = b 2

b = x 2

Onde b é a base.

Para acharmos a altura, imagine o triângulo cortado no meio, e a metade da base e a altura passarão a ser os catetos do novo triângulo retângulo. Pelo Teorema de Pitágoras:

b 2 2 + h 2 = x 2

Sendo h a altura. Substituindo b:

x 2 2 2 + h 2 = x 2

A altura será:

h = x 2 2 = x 2 2

Agora pela área do triângulo:

A = b . h 2

Substituindo b e h:

A = x 2 2

Passo 2

Agora que temos a equação A, precisamos apenas calcular a razão entre a variação de A e a variação de x para obtermos a taxa média de A pedida na letra (a):

∆ A ∆ x = 8,01 2 2 - 8,00 2 2 8,01 - 8,00 = 8,005

Passo 3

Para a letra (b) precisamos calcular a derivada da função A, pois a questão pede a taxa instantânea em relação a x:

d A d x = d d x x 2 2 = x

Substituindo o valor dado de x:

A ' 8,00 = 8,00

Resposta

  1. 8,005
  2. 8,00

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