Lista de Exercícios Resolvidos de Otimização – Modelagem

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Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I , a luminosidade do objeto é igual a I / x 2 . Dois focos, F 1 e F 2 com intensidades I 1 e I 2 , respectivamente, encontram-se separados por d unidades. Em que ponto do segmento de reta liga F 1 a F 2 , a luminosidade é mínima? Qual deve ser a razão entre I 1 e I 2 para que o ponto de luminosidade mínima entre os dois focos esteja a uma distância de d / 3 unidades da fonte de luminosidade I 1 ?

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Um quadro de altura H está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?

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Um triângulo retângulo, localizado no primeiro quadrante, tem um vértice na origem e seus outros dois vértices determinados pela interseção da reta tangente ao gráfico da função f x = e - x com os eixos coordenados (ver figura).

( a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f em x = a .

( b ) Determine as interseções da reta r com o eixo x e com o eixo y .

( c ) Determine o valor de a de forma que a área do triângulo seja máxima, considerando somente os triângulos formados no 1 º quadrante.

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Dentre os retângulos limitados pelo eixo x , pelo eixo y e pelo gráfico de f : 0,1 → R definida por f x = x - 1 2 (conforme a figura), determine as dimensões do retângulo de área máxima.

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( a ) Sejam a , b > 0 . Determine, caso exista, o perímetro mínimo dos triângulos de base b e altura (relativa à base dada) a .

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Considere a elipse de equação x 2 25 + y 2 9 = 1 e todos os triângulos retângulos construídos com um dos vértices em ( 5,0 ) , um sobre a elipse e o terceiro sobre o eixo O x , como na figura abaixo. Justifique a existência, dentre esses triângulos, de um com área máxima e determine as medidas de sua base e sua altura.

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Dentre os retângulos limitados pelo eixo x , pelo eixo y e pelo gráfico de f : 0,1 → R definida por f x = x - 1 2 (conforme a figura), determine as dimensões do retângulo de área máxima.

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Um triângulo retângulo, localizado no primeiro quadrante, tem um vértice na origem e seus outros dois vértices determinados pela interseção da reta tangente ao gráfico da função f x = e - x com os eixos coordenados (ver figura).

( a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f em x = a .

( b ) Determine as interseções da reta r com o eixo x e com o eixo y .

( c ) Determine o valor de a de forma que a área do triângulo seja máxima, considerando somente os triângulos formados no 1 º quadrante.

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Determine as dimensões do retângulo inscrito no semicírculo de raio 1 e que tem o maior perímetro. Justifique sua resposta.

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Forma-se um triângulo retângulo no primeiro quadrante com vértice na origem e no qual a hipotenusa é um segmento de reta tangente ao gráfico de y = 1 x , cujas extremidades estão sobre os eixos coordenados.

a Existe uma área máxima para tal triângulo? Existe uma área mínima? Justifique.

b Qual o comprimento da menor hipotenusa desta família de triângulos? Certifique-se de que sua resposta dê o mínimo global.

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Um quadro de altura H está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?

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Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p ≥ 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x 2 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

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Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I , a luminosidade do objeto é igual a I / x 2 . Dois focos, F 1 e F 2 com intensidades I 1 e I 2 , respectivamente, encontram-se separados por d unidades. Em que ponto do segmento de reta liga F 1 a F 2 , a luminosidade é mínima? Qual deve ser a razão entre I 1 e I 2 para que o ponto de luminosidade mínima entre os dois focos esteja a uma distância de d / 3 unidades da fonte de luminosidade I 1 ?

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Um oleoduto tem a forma de curva y = 1 - x 2 com 0 ≤ x ≤ 1 , x e y medidos em quilômetros. Será construída uma cerva tangente à curva y = 1 - x 2 no ponto P ≠ 0,1 . Determine as coordenadas do ponto P de modo que a área da região triangular formada pela cerva e pelos eixos seja mínima.

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Seja x > 0 . Considere o triangulo com vértices em A = ( 0,8 ) , B = ( 0,6 ) e C = ( x , 0 ) . Ache o valor de x que maximize o ângulo entre A C - e B C - .

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Encontre o menor segmento de reta contido no primeiro quadrante ligando o eixo x ao eixo y e passando pelo ponto P = 1,2 .

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Dentre todos os retângulos do plano R 2 com centro na origem, lados paralelos aos eixos coordenados e inscritos na elipse

x 2 9 + y 2 16 = 1   ,

determine aquele de maior perímetro.

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Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse 4 x 2 + y 2 = 1

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Encontre a maior área de um retângulo que podemos inscrever entre o gráfico da função f x = 1 4 + x 2 e o eixo das abscissas x . Justifique por que o retângulo que você encontrou será o de maior área.

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1) Seja D a região limitada do plano, compreendida entre a parábola y = 1 - x 2 e o eixo x . Considere um trapézio isóscele contido em D com as seguintes propriedades:

  • A base maior é o segmento - 1,1 do eixo x ;
  • Os vértices da base menor também estão situados no gráfico da parábola (ver figura abaixo)

Qual a maior área possível que este trapézio pode ter?

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Considere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo 6,10 . Entre esses cones, sejam C 1 o de maior volume e C 2 o de menor volume. Então a razão entre o volume de C 1 e o volume de C 2 é

  1. 27 25
  2. 32 27
  3. 32 25
  4. 9 8
  5. 256 243

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Considere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo 6,9 . Entre esses cones, sejam C 1 o de maior volume e C 2 o de menor volume. Então a razão entre o volume de C 1 e o volume de C 2 é

  1. 27 25
  2. 32 27
  3. 32 25
  4. 9 8
  5. 256 243

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Considere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo 6,9 . Entre esses cones, sejam C 1 o de menor volume e C 2 o de maior volume. Então a razão entre o volume de C 1 e o volume de C 2 é

  1. 27 32
  2. 25 32
  3. 25 27
  4. 8 9
  5. 243 256

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Considere os cones circulares retos inscritos numa esfera de raio 6 cujas alturas variam no intervalo 6,10 . Entre esses cones, sejam C 1 o de menor volume e C 2 o de maior volume. Então a razão entre o volume de C 1 e o volume de C 2 é

  1. 8 9
  2. 2 7 32
  3. 25 27
  4. 25 32
  5. 243 256

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Seja a , b um ponto da parábola y = x 2 , com 0 < a < 3 .

  1. Escreva uma função que represente a área do triângulo determinado pelos pontos 0,3 , a , b e - a , b .
  2. Encontre o valor de a tal que a área do triangulo do item anterior seja máxima. Justifique sua resposta!

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Se um retângulo tiver sua base em um eixo x e dois vértices sobre a curva y = e - x 2 . Mostre que o retângulo tem maior área possível quando os vértices estão nos pontos de inflexão da curva.

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Encontre dois números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima.

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Uma página deve conter 60   c m 2 de área impressa. As margens superior e inferior devem ter 3   c m , enquanto as laterais têm 2   c m cada. Encontre as dimensões da página que consomem a menor quantidade de papel.

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Determine as dimensões do retângulo com lados paralelos aos eixos coordenados que tenha área máxima, sabendo que o retângulo está inscrito na região limitada pelas parábolas y = x ² e y = 8 - x ²

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Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito dentro da região delimitada pela parábola y = 4 - x 2 e pelo eixo x , fronteira incluída.

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Um contêiner retangular sem tampa para estocagem deve ter volume de 42 m ³ . O comprimento de sua base é o dobro de sua largura. O material para a base custa R $ 14,00 / m ² e o material para as laterais custa R $ 12,00 / m ² . Encontre o custo dos materiais para o barato desses contêiners. Não esqueça de verificar que de fato esse é o mais barato dos contêiners!

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Considere a região R = x , y   : 0 ≤ y ≤ 4 cos ⁡ x   ;   - π 2 ≤ x ≤ π 2 . Determine as dimensões do retângulo de maior perímetro possível que pode ser inscrito em R .

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Determine o retângulo de área máxima, e lados paralelos aos eixos coordenados inscritos na elipse de equação 4 x 2 + y 2 = 1

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3) Na figura, as semirretas r 1 e r 2 são paralelas e o segmento A B é perpendicular a essas semirretas. O ponto P , situado no segmento A B , é tal que: A P - = 1 e B P - = 2 . Considere a coleção de todos os triângulos retângulos P P 1 P 2 , com ângulo reto em P , tais que P 1 está sobre a semirreta r 1 e P 2 está sobre a semirreta r 2 .

Determine a menor área possível para um triângulo dessa coleção:

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Q02) Um comerciante deseja produzir uma ampulheta para venda em sua loja. A ampulheta será composta de dois cones idênticos, unidos pelo vértice. O comerciante planeja construir a ampulheta de vidro e em seguida fechar as bases com uma tampa de metal. Ele também planeja que a área superficial da ampulheta, excetuando-se as tampas de metal,seja de A   c m 2 . Qual deve ser o raio da tampa para que a ampulheta possa marcar o maior intervalo de tempo possível?

Dica: A área lateral de um cone de raio r e altura h é dada por π r r 2 + h 2 .

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Q03) Deseja-se construir um reator nuclear em uma usina elétrica. O reator tem formato cilíndrico e será instalado dentro de uma cúpula semi-esférica de raio igual a 15   m e t r o s , conforme ilustra a figura abaixo. Determine o raio da base do cilindro de maior volume que pode ser instalado dentro da cúpula.

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3) Um retângulo tem os dos vértices inferiores sobre o eixo O x e os dois vértices superiores pertencentes à curva y = 15 - x 2 . Dentre todos os retângulos nestas condições, quais as dimensões daquele que tem a maior área? Justifique sua resposta!

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Um copo na forma de um cone é produzido cortando-se um setor circular de um disco de raio 1 , como indicado na figura:

  1. Escreva o volume do copo como função do raio r da base do copo
  2. Determine o maior volume possível desse copo

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