Enunciado

Funções:a. f ( x , y ) = 2 x + 3 y b. g ( x , y ) = x y c. h ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 Curvas:i) A semielipse x 2 / 9 + y 2 / 4 = 1 ,   y ≥ 0 .ii) O quarto de elipse x 2 / 9 + y 2 / 4 = 1 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .Utilize as equações paramétricas x = 3 c o s ⁡ t ,   y = 2 s e n ⁡ t .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, precisamos encontrar os valores absolutos mínimo e máximo dada as funções sobre as curvas a seguir.Funções:a. f ( x , y ) = 2 x + 3 y b. g ( x , y ) = x y c. h ( x , y ) = x 2 + 3 y 2 Curvas:i. A semi-elipse x 2 9 + y 2 4 = 1 , y ≥ 0 ii. O quarto de de elipse x 2 9 + y 2 4 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 Para isso, usaremos as equações paramétricas x = 3 c o s ⁡ t , y = 2 s e n t . Vamos lá?

Passo 2

Em primeiro lugar, temos que a derivada vale:

d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t d f d t = 2 d x d t + 3 d y d t d f d t = - 6 s e n ⁡ t + 6 c o s ⁡ t = 0

Assim:

s e n = c o s ⁡ t

Ou seja t = π 4 , 0 ≤ t ≤ π i. Para x 2 9 + y 2 4 = 1 , y ≥ 0 , temos que

f ( x , y ) = 2 x + 3 y f ( x , y ) = 6 c o s ⁡ t + 6  sent  f ( x , y ) = 6 2 2 + 6 2 2 f ( x , y ) = 6 2

Para t = π 4 .Os extremos da região valem f ( - 3,0 ) = - 6 , f ( 3,0 ) = 6 . Assim, temos o mínimo absoluto em f ( - 3,0 ) = - 6 e m t = π , e 0 absoluto máximo ocorre em f 3 2 2 , 2 = 6 2 quando t = π 4 ii. No quarto de elipse, temos os extremos valendo f ( 0,2 ) = 6 , f ( 3,0 ) = 6 . O absoluto mínimo é f ( 3,0 ) = f ( 0,2 ) = 6 , quando t = 0 , π 2 respectivamente. O absoluto máximo é f 3 2 2 , 2 = 6 2 , quando t = π 4 .

Passo 3

Agora, temos que a derivada resulta em:

d g d t = ∂ g ∂ x d x d t + ∂ g ∂ y d y d t d g d t = y d x d t + d y d t d g d t = ( 2 s e n ⁡ t ) ( - 3 s e n ⁡ t ) + ( 3 c o s ⁡ t ) ( 2 c o s ⁡ t ) d g d t = 6 c o s 2 ⁡ t - s e n 2 ⁡ t d g d t = 6 c o s ⁡ 2 t = 0

Os valores que satisfazem são t = π 4 , 3 π 4 no intervalo 0 ≤ t ≤ π i. Para g ( x , y ) = x y = 6 sent c o s ⁡ t , temos:

g 3 2 2 , 2 = 3 quando t = π 4 e g - 3 2 2 , 2 = - 3 quando t = 3 π 4 . Os extremos valem g ( - 3,0 ) = g ( 3,0 ) = 0 . Assim, o absoluto mínimo é g - 3 2 2 , 2 = - 3 quando t = 3 π 4 e o absoluto máximo é g 3 2 2 , 2 = 3 quando t = π 4 .ii. Para o quarto de elipse, temos que os extremos valem g ( 0,2 ) = 0 , g ( 3,0 ) = 0 .Temos então que 0 absoluto minimo ocorre quando g ( 3,0 ) = 0 , g ( 0,2 ) = 0 em t = 0 , π 2 respectivamente. O absoluto máximo é g 3 2 2 , 2 = 3 quando t = π 4 .

Passo 4

Desse modo, a derivada resulta em

d h d t   = ∂ h ∂ x d x d t + ∂ h ∂ y d y d t d h d t   = 2 x d x d t + 2 y d y d t d h d t   = ( 6 c o s ⁡ t ) ( - 3 s e n ⁡ t ) + ( 12 s e n ⁡ t ) ( 2 c o s ⁡ t ) d h d t   = 6 s e n ⁡ t c o s ⁡ t = 0

Os valores que satisfazem a equação são:

t = 0 , π 2 , π   0 ≤ t ≤ π

Levando aos pontos ( 3,0 ) , ( 0,2 ) , ( - 3,0 ) .i. Para a semi-elipse y ≥ 0 :Temos que os pontos resultam em h ( 3,0 ) = 9 , h ( 0,2 ) = 12 e h ( - 3,0 ) = 9 . O absoluto mínimo é então h ( 3,0 ) = h ( - 3,0 ) = 9 quando t = 0 , π respectivamente. O absoluto máximo ocorre em h ( 0,2 ) = 12 quando t = π 2 .ii. No quarto de elipse, o absoluto mínimo é h ( 3,0 ) = 9 quando t = 0 . O absoluto máximo ocorre em h ( 0,2 ) = 12 quando t = π 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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