1.

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = - 2 x 2 + y 2

Resolução
2.

Caso exista, encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função:

f x , y = 3 - 2 x 2 - 2 y 2

Resolução
3.

Considere duas funções f ( x , y ) e g ( x , y ) continuamente diferenciáveis, definidas em todo o plano x y . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de f em ( x 0 , y 0 ) só intercepta o gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 e que intercepta o gráfico de g em um único ponto, que é mínimo global de g , indique a afirmatica correta:

a Não há informações suficientes para deduzirmos se ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f ou não.

b ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que necessariamente é um ponto de sela.

c ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que pode ser de máximo, de mínimo ou de sela.

d ( x 0 , y 0 ) não é um ponto crítico de f .

e ( x 0 , y 0 ) é um ponto crítico de f que necessariamente é um ponto de máximo ou de mínimo global.

Resolução
4.

A janela de uma casa tem a forma de um retângulo com um triângulo isósceles no topo. Se o perímetro da janela é 12m e esta deve coletar a maior quantidade de energia solar possível, mostre que o ângulo da base do triângulo é π / 6 radianos.

Resolução
5.

Sejam a , b , c os três primeiros dígitos do seu cpf (por exemplo, seu cpf é 123.456.789 - 0 , então a = 1 , b = 2 , c = 3 ). Considere o polinômio p x , y = 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x y + a + 1 x + b + 1 y + c + 1 .

  1. Mostre que p admite um extremo local e classifique-o.
  2. Sejam x 0 , y 0 o ponto crítico encontrado no item anterior, e m , n ∈ R . Mostre que p x 0 + m t ,   y 0 + n t = r t 2 + p x 0 , y 0 para todo t ∈ R , para algum r dependente de m e n .
  3. Mostre que x 0 , y 0 é um extremo global.

Dica: Use a letra b para mostrar que as imagens de retas em R 2 que passam por x 0 , y 0 , são parábolas de mesma concavidade, independente de m e n .

Resolução
6.

Seja

f x , y = a x 2 + b x y - c y 2

Onde a , b , c são números reais. Se

b 2 + 4 a c < 0

c > 0

Então:

  1. 0,0 é um ponto de mínimo local
  2. 0,0 não é um ponto crítico
  3. 0,0 é um ponto de máximo local
  4. 0,0 é um ponto de sela
  5. Nenhuma das demais alternativas
Resolução
7.

Uma empresa produz x camisas e y calças por mês. Cada camisa é vendida por 120 - 2 x , e cada calça por 200 - y . O custo total da empresa para produzir e vender x camisas e y calças é x 2 + 2 y 2 + 2 x y . Admitindo que tudo o que a empresa produz é vendido de fato, determine a produção que maximiza o lucro da empresa, bem como o lucro máximo possível. (Dica: o lucro é o total arrecadado com as vendas menos o custo da produção e venda.)

Resolução
9.

Considere a função

f x , y = 16 - x 2 - 16 y 2   ,   s e   x 2 + 16 y 2 ≤ 12 x 2 + 16 y 2 - 8   ,   s e   x 2 + 16 y 2 > 12

Considere as seguintes afirmações:

  1. O gráfico de f é união de uma porção de um elipsoide e de um hiperboloide de uma folha.
  2. A função f é contínua em x , y ; x 2 + 16 y 2 = 12
  3. O máximo absoluto de f é 4

Assinale a resposta certa:

  1. Nenhuma das opções
  2. Somente as afirmações I e III são verdadeiras
  3. Somente a afirmação II é verdadeira
  4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
  5. Todas as afirmações são verdadeiras.
Resolução

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