Enunciado

27. Quando um gás se expande em um cilindro de raio r , a pressão em um dado momento é uma função do volume: P = P V . A força exercida pelo gás no pistão (veja a figura) é o produto da pressão pela área: F = π r 2 P . Mostre que o trabalho realizado pelo gás quando o volume se expande a partir de V 1 para V 2 é

W = ∫ V 1 V 2 P d V

Passo 1

E aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos que provar que quando um gás de expande de V 1 para V 2 o trabalho realizado por ele é dado por

W = ∫ V 1 V 2 P d V

Parece complicado? 😬

Sabemos que o trabalho de uma força é dado por

W = ∫ x 1 x 2 F d x

Consideremos um cilindro infinitesimal de raio r e espessura d x . Seu volume d V será:

d V = π r 2 d x   →       d x = d V π r 2

Como x e V são grandezas proporcionais, quando:

x = x 1 → V = V 1

x = x 2 → V = V 2  

Veja só! 😉

Passo 2

Vamos reescrever a equação do trabalho, tendo em vista a mudança de variável:

W = ∫ V 1 V 2 F π r 2 d V

Se F = π r 2 P , então

W = ∫ V 1 V 2 π r 2 π r 2 P d V

W = ∫ V 1 V 2 P d V

Sacou? Legal, né? Responde Aí! 😎

Resposta

W = ∫ V 1 V 2 P d V

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