Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.

Passo 1

Opa, bora lá! Determinamos os pontos de interseção igualando x = 2 e x = 1 + y - 2 2 :

1 = y - 2 2

y - 2 = ± 1

y ' = 3 , y ' ' = 1

Os pontos de interseção são: P 1 = ( 2,1 ) e P 2 = ( 2,3 ) .

Vamos usar o método das cascas cilíndricas para determinar o volume de V , sólido criado pela rotação de R em torno do eixo x . O volume do sólido é dado por:

V = 2 π ∫ r y h y d y

Passo 2

Os limites de integração são os pontos de interseção, já que y varia entre eles, h ( y ) é o próprio y e r y = 2 - 1 + y - 2 2 = 1 - y - 2 2 . Então:

V = 2 π ∫ 1 3 y ( 1 - y 2 - 4 y + 4 ) d y

V = 2 π ∫ 1 3 y ( - y 2 + 4 y - 3 ) d y

V = 2 π ∫ 1 3 - y 3 + 4 y 2 - 3 y d y

V = 2 π - y 4 4 + 4 y 3 3 - 3 y 2 2 1 3

V = 2 π - 81 4 + 108 3 - 27 2 - - 1 4 + 4 3 - 3 2

V = 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

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