Enunciado

Gere o gráfico de f x = x 3 - 4 x + 5 com um recurso gráfico computacional e use-o para encontrar um número δ , tal que f x - 2 < 0,05 se 0 < x - 1 < ϵ . [Sugestão: Mostre que a desigualdade f x - 2 < 0,05 pode ser reescrita como 1,95 < x 3 - 4 x + 5 < 2,05 e obtenha uma estimativa dos valores de x para os quais x 3 - 4 x + 5 = 1,95 e x 3 - 4 x + 5 = 2,05 .]

Passo 1

Então galera, se esboçarmos o gráfico de f x teremos:

Agora para encontrarmos o δ temos que fazer:

f x - 2 < 0,05

x 3 - 4 x + 5 - 2 < 0,05

Que é equivalente a:

- 0,05 < x 3 - 4 x + 5 - 2 < 0,05

Vale ressaltar que só tiramos o módulo aqui, ok? Continuando:

1,95 < x 3 - 4 x + 5 < 2,05

Que é a equivalência que o enunciado queria que chegássemos!

Passo 2

Para termos a igualdade x 3 - 4 x + 5 = 1,95 , temos que x tem que valer:

x = 1,0616

E para termos a igualdade x 3 - 4 x + 5 = 2,05 , temos que x tem que valer:

x = 0,9558

Sendo assim, o nosso delta mínimo será:

δ = min ⁡ 1,0616 - 1,1 - 0,9558

∴ δ = 0,0442

Resposta

δ = 0,0442

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