Enunciado

O gráfico mostra o consumo de combustível c de um carro (medido por galões/hora) como uma função da velocidade v do carro. A baixa velocidade do motor não rende bem; assim, inicialmente c decresce à medida que a velocidade cresce. Mas a uma alta velocidade o consumo cresce. Você pode ver que c ( v ) é minimizado para esse carro quando v ≈ 30 mi/h. Porém, para a eficiência do combustível, o que deve ser minimizado não é o consumo em galões/hora, mas, em vez disso, o consumo de combustível em galões por milha. Vamos chamar esse consumo de G . Usando um gráfico, estime a velocidade na qual G tem seu valor mínimo.

Passo 1

No gráfico apresentado temos a informação de quantos galões por hora são gastos para dada velocidade v . Devemos traduzir essa informação, para descobrir quantos galões são consumidos por milha para uma velocidade, uma outra função G ( v ) . Fazendo isso, iremos tentar esboçar um gráfico de G × v , para então encontrar o valor de v para o qual G é mínimo.

Passo 2

Primeiro iremos tentar achar G ( v ) em função de v e c . Se o veículo viaja a v milhas por hora e consome c galões por hora, para cada hora ele viaja v milhas e consome c galões. Temos então:

G g a l o e s m i = c g a l o e s h v m i h

A função G ( v ) é então composta dessa maneira:

G v = c v v

Passo 3

Sabemos que temos um ponto crítico da função quando G ' v = 0 . Usando a técnica de derivação de razão entre funções, podemos derivar G em relação a v :

G ' v = c ' v v - c v v 2

Se G ' v = 0 :

v c ' v - c v = 0

⇒ v c ' v = c ( v )

⇒ c ' v = c v v

Sabemos que a derivada c ' ( v ) é a inclinação da reta tangente à curva de c num ponto de abcissa v . Além disso, c / v é a tangente do ângulo entre a horizontal e uma reta traçada da origem até um ponto da curva. Vamos representar esses dois valores, como exemplo, para a velocidade de 40 mi/h:

A linha vermelha é tangente à curva no ponto, e a tangente c ' ( v ) é:

c ' v = tg ⁡ α

O ângulo β representa a divisão de c por v :

c v v = tg ⁡ β

Logo, se as tangentes são iguais para o ponto v 0 , a reta tangente à curva nesse ponto deve passar na origem! Podemos colocar uma reta no eixo x , e ir girando ela até tocar na curva. Achamos então um valor aproximado de v 0 :

Temos então:

v 0 ≈ 52   m i / h

Resposta

v 0 ≈ 52   m i / h

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