Enunciado

O gráfico mostra o consumo de combustível c de um carro (medido em litros/hora) como uma função da velocidade v do carro. Em velocidade muito baixa, o motor não rende bem; assim, inicialmente c   decresce à medida que a velocidade cresce. Mas em alta velocidade o consumo cresce. Você pode ver que c ( v ) é minimizado para esse carro quando v ≈ 48   k m / h . Porém, para a eficiência do combustível, o que deve ser minimizado não é o consumo em litros/hora, mas, em vez disso, o consumo de combustível em litros por quilômetro. Vamos chamar esse consumo de G . Usando o gráfico, estime a velocidade na qual G tem seu valor mínimo.

Passo 1

E aeee, belezinha??? Bom... a questão nos dá o seguinte gráfico que descreve o consumo de combustível c de um carro (medido em litros/hora) em função da velocidade v do carro:

Ainda, a questão nos diz que em alta velocidade o consumo cresce e que c ( v ) é minimizado para esse carro quando v ≈ 48   k m / h .

Assim, a questão quer que minimizemos o consumo G de combustível em litros por quilômetro.

E aí? Como faremos isso?

Então...

Temos que c é o consumo em litro por hora, e v , a velocidade em quilômetros por hora, então podemos fazer c v = l i t r o s h o r a ( k m h o r a ) e teremos G , que é a consumo em litros por quilômetro.

Dessa forma, usaremos G = c v para resolvermos esse exercício.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Para minimizar G devemos derivar e igualar a zero, ou seja::

d G d v = 0 ∴

d d v c v = 0

Fazendo a derivada do quociente, temos:

d G d v = v d c d v - c d v d v v 2 ∴

d G d v = v d c d v - c v 2 ∴

v d c d v - c v 2 = 0

Para a derivada acontecer v não pode ser 0 , então:

v d c d v - c = 0 ∴

d c d v = c v

Passo 3

Vamos esboçar esse resultado num desenho para clarear tudo:

Isso implica que a linha tangente de c ( v ) passa pela origem e toca c ( v ) no momento em que v ≈ 53   k m / h e é nesse momento que G tem seu valor mínimo.

Resposta

v ≈ 53   k m / h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
16 Uma pedra cai de uma altura de 64 m. Se s m for a altura da pedra t s após ter iniciado a queda, então s = - 16 t 2 + 64 .(a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo?(b) Ache a velocidade ins
7. Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t )
2 Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t )
8 Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t )