Enunciado

Se a > 0 e b > 0, mas c = 0, mostre que o resultado do Problema 37 não continua válido, mas que todas as soluções tendem a uma constante, que depende da condição inicial, quando t → ∞. Determine essa constante para as condições iniciais y(0) = y0, y′(0) = y′0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar qual a Eq. (i).

a y ' ' + b y ' + c y = 0

As raízes da equação característica serão:

a r 2 + b r = 0

r 1 = 0

r 2 =   - b a

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y = C 1 e r t   + C 2 e r t

y ( t ) = C 1   + C 2 e - b t / a

Resposta

y ( t ) = C 1   + C 2 e - b t / a

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Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0
Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 , y 0 = 0 ,y ' 0 = 2 .
Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. 9 y ' ' + 6 y ' + 82 y = 0 , y 0 = - 1 ,y ' 0 = 2 .
Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' - 2 y ' + y = 0
Resolva o problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t cresce. y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0 , y - 1 = 2 ,y ' - 1 = 1 .