Enunciado

O método do Problema 20 pode ser estendido para equações de segunda ordem com coeficientes variáveis. Se y1 é uma solução conhecida de y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, que não se anula, mostre que uma segunda solução y2 satisfaz (y2/y1)′ = W(y1, y2)/y1², em que W(y1, y2) é o wronskiano de y1 e y2. Depois use a fórmula de Abel [Eq. (23) da Seção 3.2] para determinar y2.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

y 1 y 2 ' ' - y 1 ' ' y 2 + p ( t ) y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2 = 0

W   y 1 , y 2 = y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2

W '   y 1 , y 2 = y 1 y 2 ' ' - y 1 ' ' y 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

W ' + p ( t ) W = 0

d d t ln ⁡ W =   - p ( t )

W t = exp ⁡ - ∫ p s d s

y 1 y 2 ' -   y 1 ' y 2 = exp ⁡ - ∫ p s d s

I = 1 y 1 t  

y 2 t = y 1 t ∫ 1 y 1 r 2 exp ⁡ - ∫ p s d s d r  

Resposta

y 2 t = y 1 t ∫ 1 y 1 r 2 exp ⁡ - ∫ p s d s d r  

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Se ar² + br + c = 0 tem raízes iguais r1, mostre queComo a última expressão à direita na Eq. (i) é nula quando r = r1, segue que exp(r1t) é uma solução de L[y] = ay′′ + by′ + cy = 0.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
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Suponha que r1 e r2 são raízes de ar² + br + c = 0 e que r1 ≠ r2; então, exp(r1t) e exp(r2t) são soluções da equação diferencial ay′′ + by′ + cy = 0. Mostre que φ(t; r1, r2) = [exp(r2t) –exp(r1t)]/(r2