Enunciado

Calcule o fluxo do campo F x , y , z = 2 x , - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 , y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 , através da superfície S definida pelas equações

x 2 2 + y 2 9 + z 2 25 = 1 ,       z ≥ 0 , x 2 2 + y 2 9 = 1 ,       - 3 ≤ z ≤ 0 , z = - 3 ,                         x 2 2 + y 2 9 ≤ 1 .

Passo 1

Se liga! O exercício pede para calcularmos o fluxo sobre a superfície S . Podemos, primeiramente, fazer um esboço dessa superfície.

Onde a superfície em azul ( S 1 ) é definida por

x 2 2 + y 2 9 + z 2 25 = 1 ,       z ≥ 0 ,

a superfície vermelha ( S 2 ) é definida por

x 2 2 + y 2 9 = 1 ,       - 3 ≤ z ≤ 0 ,

e a superfície em amarelo ( S 3 ) definida por

z = - 3 ,                         x 2 2 + y 2 9 ≤ 1 .

Passo 2

O fato da união destas superfícies formarem uma superfície fechada

S = S 1 ∪ S 2 ∪ S 3

Esta superfície S forma um sólido que contém o ponto ( 0,0 , 0 ) . Entretanto, o campo F não está definido na origem. Por isso, podemos tomar uma esfera dentro no interior do sólido, centrada na origem, como mostrada na figura abaixo, cuja superfície chamaremos de S A , para aplicarmos o Teorema de Gauss.

O teorema de Gauss nos fornece que

∬ S F →     .   n →   d s = ∭ W d i v F → d V .

No nosso caso, temos

∭ W d i v F → d V = ∬ S F →     .   n →   d s - ∬ S A F →     .   n →   d s

Onde W é a região compreendida pelas superfícies S e S A .

Passo 3

Agora podemos calcular o divergente.

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde

∂ F 1 ∂ x = ∂ ∂ x 2 x = 2

∂ F 2 ∂ y = ∂ ∂ y - z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2   = z y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2  

∂ F 3 ∂ z = ∂ ∂ z y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = - z y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

Portanto

d i v   F = 2 + z y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 - z y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 = 2 .

Passo 4

Substituindo na integral tripla o valor do d i v   F que encontramos, temos

∭ W d i v F → d V = ∭ W 2   d x d y d z

Repare que pela integral acima teremos 2 vezes o volume da região W . Como esta região é formada por:

  • 1 2 Elipsoide: V E l i p s o i d e = 1 2 4 3 π a b c =     1 2   4 3 π ( 2 × 3 × 5 ) = 20 π
  • Cilindro Elíptico: V C i l i n d r o = π a b   h = π × 2 × 3 × 3 = 18 π
  • Esfera: V E s f e r a = 4 3 π r 3

O volume total será a soma dos volumes acima

V W = 38 π - 4 3 π r 3

Como o valor da integral nos dá 2 vezes esse valor, temos

∭ W d i v F → d V = 76 π - 8 3 π r 3 .

Logo

∬ S F →     .   n →   d s - ∬ S A F →     .   n →   d s = 76 π - 8 3 π r 3

Passo 5

Como estamos interessados no fluxo na região S ,

∬ S F →     .   n →   d s = 76 π - 8 3 π r 3 + ∬ S A F →     .   n →   d s

Só precisamos calcular a integral

∬ S A F →     .   n →   d s

Para isso precisamos fazer a parametrização. Podemos usar as coordenadas esféricas

x = ρ s e n φ c o s θ y = ρ s e n φ s e n θ z = ρ c o s φ

O fluxo passa a ser

F φ θ = ρ s e n ϕ c o s θ ,   ρ s e n ϕ s e n θ , ρ s e n φ

E a normal

n φ θ = ρ 2 s e n φ s e n ϕ c o s θ , s e n ϕ s e n θ , s e n φ .

Em S A temos

0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ φ ≤ π

Agora podemos reescrever nossa integral como

∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ s e n ϕ c o s θ ,   ρ s e n ϕ s e n θ , ρ s e n φ ρ 2 s e n φ s e n ϕ c o s θ , s e n ϕ s e n θ , s e n φ d φ d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 3 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ d φ   d θ

Podemos como essas variáveis são independentes, podemos separá-las e usando a relação cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s 2 θ 2 , temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 3 s e n 3 φ cos 2 ⁡ θ d φ   d θ = 2 ρ 3 ∫ 0 2 π 1 + c o s 2 θ 2 d θ ∫ 0 π s e n 3 φ d φ

= 2 π ρ 3 ∫ 0 π s e n 3 φ d φ .

Para resolver esta integral podemos a relação s e n 2 φ = 1 - cos 2 ⁡ φ , portanto

2 π ρ 3 ∫ 0 π s e n 3 φ d φ = 2 π ρ 3 ∫ 0 π s e n φ - s e n φ c o s 2 φ d φ

= 2 π ρ 3 ∫ 0 π s e n φ - s e n φ c o s 2 φ d φ = 2 π ρ 3 - c o s φ + c o s 3 φ 3 0 π = 8 π ρ 3 3

Levando em consideração que nosso ρ corresponde a r , temos

∬ S A F →     .   n →   d s = 8 3 π r 3

Passo 6

Como vimos antes

∬ S F →     .   n →   d s = 76 π - 8 3 π r 3 + ∬ S A F →     .   n →   d s

Sendo assim

∬ S F →     .   n →   d s = 76 π - 8 3 π r 3 + 8 3 π r 3 = 76 π

Resposta

∬ S r o t   F →     .   n →   d s = 76 π .

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