Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 4.4 - Ex. 2

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Identifique os pontos de inflexão e os máximos e mínimos locais da função representada graficamente. Identifique os intervalos em que a função é côncava para cima e aqueles em que ela é côncava para baixo.

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada primeira e segunda:

y ' = x 3 - 4 x  

y ' ' = 3 x 2 - 4

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = x 3 - 4 x = x x 2 - 4 = 0

x = 0      

x 2 - 4 = 0 → x 2 = 4 → x = ± 2

Esses são nossos pontos críticos.

Vamos ver se são pontos de máximo ou mínimo pela derivada segunda:

y ' ' 0 = - 4 < 0

y ' ' 2 =   8 > 0

y ' ' - 2 = 8 > 0

Então a função possui um ponto de máximo em x = 0 e pontos de mínimo em x = 2   e   x =   - 2 .

Passo 3

Passo 4

Os pontos de inflexão são onde muda a concavidade, então vamos ver em que pontos a derivada segunda é positiva ou negativa...

y ' ' = 3 x 2 - 4 > 0

3 x 2 > 4 → x 2 > 4 3

x > 2 3       e   x <   - 2 3

Ou seja, a concavidade é para cima em - ∞ ,   - 2 3   e   2 3 ,   ∞ . E a concavidade é para baixo em - 2 3 , 2 3 . Os pontos de inflexão são - 2 3 , 16 9 e 2 3 , 16 9 .

Resposta

Ponto de máximo em x = 0 e pontos de mínimo em x =   ± 2 .

Concavidade para baixo em - 2 3 , 2 3 . e para cima em - ∞ ,   - 2 3   e   2 3 ,   ∞ . Os pontos de inflexão são - 2 3 , 16 9 e 2 3 , 16 9 .

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