Enunciado

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

79-

y ' = 2 | x |

- 2 x .             x ≤ 0

2 x .         x > 0

Passo 1

Fazendo as duas equações de y ' = 0 temos:

- 2 x = 0 → x = 0

2 x = 0 → x = 0

O que até nos daria o ponto crítico da função, mas como uma função termina e a outra começa nesse ponto não podemos afirmar que esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo da função toda.

Passo 2

Derivando as duas equações nós temos:

y ' ' = - 2 ,       x ≤ 0

y ' ' = 2 ,       x > 0

Logo para x positivo a função sempre terá concavidade para baixo e para x positivo a função sempre terá concavidade pra cima.

Passo 3

Organizando nossos intervalos temos:

Para achar o valor o valor de f ' se faz da seguinte forma, para x menor que zero use a primeira equação , para x positivo use a segunda. Por ser a função módulo sempre temos positivo.

Pela não mudança do crescimento da função e da mudança da concavidade vimos que em x = 0 temos um ponto de inflexão.

Resposta

y ' ' = - 2 ,       x ≤ 0

y ' ' = 2 ,       x > 0

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