Enunciado

Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:

28. y 2 - 2 = x 2 - 2 x

Passo 1

Vamos passar todos os termos para o lado direito:

y 2 - 2 - x 2 + 2 x = 0

Como podemos perceber, x 2 possui sinal negativo, o que indica que a equação é de uma hipérbole, vamos somar 1 em ambos os lados para podermos nos aproximar da equação padrão da hipérbole:

y 2 - 2 - x 2 + 2 x + 1 = 0 + 1

y 2 - x 2 + 2 x - 1 = 1

Colocando o sinal negativo em evidência para podermos completar quadrados:

y 2 - ( x 2 - 2 x + 1 ) = 1

Completando quadrados:

y 2 1 - x - 1 2 1 = 1

Passo 2

Como podemos perceber pela equação:

a = b = ± 1

Calculamos então c :

c = ± 1 + 1

c = ± 2

Passo 3

Podemos encontrar as coordenadas dos focos e dos vértices utilizando os valores de a e c , mas precisamos tomar cuidado com o fato do x na equação da elipse estar sendo somado a - 1 , o que significa que há uma translação da elipse no eixo x, portanto, os vértices e os focos estarão deslocados.

Pela definição dos vértices:

0 + 1 , ± a = ( 1 , ± 1 )

E pela definição dos focos:

0 + 1 , ± c = 1 , ± 2

Resposta

v é r t i c e s : ( 1 , ± 1 )

f o c o s : 1 , ± 2

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