Enunciado

Trace a curva x = sen ⁡ t + sen ⁡ 1,5 t ,   y = cos ⁡ t e encontre seu comprimento correto com 4 casas decimais.

Passo 1

A figura mostra a curva que queremos para o intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π :

Passo 2

Precisamos derivar a função, assim, derivando x = sen ⁡ t + sen ⁡ 1,5 t :

d x d t = cos ⁡ t + 1,5 cos ⁡ 1,5 t

E derivando ,   y = cos ⁡ t :

d y d t = - sen ⁡ t

Passo 3

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = cos ⁡ t + 1,5 cos ⁡ 1,5 t 2 + - sen ⁡ t 2 = cos 2 ⁡ t + 3 cos ⁡ t cos ⁡ 1,5 t + 2,25 cos 2 ⁡ 1,5 t + sen 2 ⁡ t

Passo 4

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, no intervalo 0 ≤ t ≤ 4 π , temos que:

L = ∫ 0 4 π 1 + 3 cos ⁡ t cos ⁡ 1,5 t + 2,25 cos 2 ⁡ 1,5 t d t ≈ 16 , 7102

Resposta

≈ 16,7102

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