Enunciado

Se f ( x ) é injetora, podemos dizer algo a respeito de g ( x )   =   - f ( x ) ? Ela também é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala, galera! Tudo bom?

Neste problema não tem continha, é só conceitual mesmo!

Basicamente, você tem que lembrar o que é uma função injetora: é aquela que, se você pegar 2 números diferentes, a função em cada um deles vai ser diferente. Ou seja, se x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , para todo x 1 ,   x 2   ϵ   D ( f ) (domínio de f ), beleza?

Então, vamos lá!

Passo 2

Aqui ele te disse que f ( x ) é injetora e que g ( x )   =   - f ( x ) . Repare que a diferença entre ambas é o sinalzinho de menos ali.

O que isso muda? O menos só vai fazer a função g ( x ) virar crescente, onde f ( x ) for decrescente e virar decrescente, onde f ( x ) for crescente. Ou seja, vai só mexer na inclinação da função e não na função em si, certo? Então, se f ( x ) é injetora, g ( x ) também vai ser, porque a g só muda a inclinação da f , e não muda a cara da f . Quer ver um exemplo?

Nessa figura, a função verde é a nossa f ( x )   =   2 x + 1   e a azul é a g ( x )   =   - 2 x - 1 .

Tá vendo que, em cada uma das duas funções, não existem dois x que levam no mesmo y ? Ambas são injetoras.

Agora olha esta outra aqui:

Nessa aqui, a verde é a f ( x ) = x 3 e a azul é a g ( x ) =   - x 3

Viu só? Em nenhuma das duas funções, dois x distintos levam no mesmo y . Ambas são injetoras.

Resposta

g ( x ) também é injetora.

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