Enunciado

. No instante t = 0, uma partícula está localizada no ponto (1, 2, 3). Ela se desloca em linha reta até o ponto (4, 1, 4), tem módulo de velocidade 2 em (1, 2, 3) e aceleração constante 3i – j + k. Encontre uma equação para o vetor posição r(t) da partícula no instante t

Passo 1

Fala minha galera querida!! Primeiro de tudo, vamos escrever a equação da aceleração, que é o que temos, que pode ser escrita como a derivada da velocidade pelo tempo:

a = d v d t = 3 i - j + k

Vamos passar o dt para o outro lado e integrar, de forma que encontremos a equação da velocidade em função do tempo.

∫ d v = ∫ 3 i - j + k d t

v t = 3 t i - t j + t k + C 1

Passo 2

Vamos descobrir agora o caminho percorrido pela partícula, como ele diz que é em linha reta, podemos simplesmente subtrair as coordenadas.

4,1 , 4 - 1,2 , 3 = 3 i - j + k

Essa é a distância percorrida pela partícula.

Sabemos que quando t é 0, o módulo da velocidade é 2. Vamos substituir na função da velocidade encontrada então.

v t = 3 t i - t j + t k + C 1

v 0 = 2 3 2 + 1 2 + 1 2 3 i - j + k = 3 ⋅ 0   i - 0 j + 0 k + C 1

C 1 = 2 11 3 i - j + k

Vamos reescrever a equação da velocidade então.

v t = 3 t i - t j + t k + 2 11 3 i - j + k

v t = 3 t + 6 11 i - t + 2 11 j + t + 2 11 k

Passo 3

Mas também, sabemos que velocidade é a derivada do deslocamento em função do tempo, então vamos reescrever novamente.

v t = d r d t

d r d t = 3 t + 6 11 i - t + 2 11 j + t + 2 11 k

Vamos passar dt para o outro lado e integrar.

∫ d r = ∫ 3 t + 6 11 i - t + 2 11 j + t + 2 11 k d t

r t = 3 2 t 2 + 6 11 t i - t 2 2 + 2 11 t j + t 2 2 + 2 11 t k + C 2

Passo 4

Por fim, conhecemos a posição inicial da partícula, então vamos descobrir a segunda constante

r 0 = i + 2 j + 3 k

r 0 = 3 2 0 2 + 6 11 0 i - 0 2 2 + 2 11 0 j + 0 2 2 + 2 11 0 k + C 2

C 2 = i + 2 j + 3 k

Portanto, aí está a nossa equação do deslocamento:

r t = 3 2 t 2 + 6 11 t i - t 2 2 + 2 11 t j + t 2 2 + 2 11 t k + i + 2 j + 3 k

r t = 3 2 t 2 + 6 11 t + 1 i - t 2 2 + 2 11 t + 2 j + t 2 2 + 2 11 t + 3 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = 3 2 t 2 + 6 11 t + 1 i - t 2 2 + 2 11 t + 2 j + t 2 2 + 2 11 t + 3 k

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