Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d r d t = - t i - t j - t k

Condição inicial: r 0 = i + 2 j + 3 k

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d r d t = - t i - t j - t k

Vamos passar dt para o outro lado:

d r = - t i - t j - t k d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r = ∫ - t i - t j - t k d t

Integral de dr é o próprio r, e integral de t em dt é t 2 / 2 mais uma constante C da integral.

r t = - t 2 2 i - t 2 2 j - t 2 2 k + C

Passo 2

Vamos descobrir quanto vale r para t = 0 :

r t = - t 2 2 i - t 2 2 j - t 2 2 k + C

r 0 = - 0 2 2 i - 0 2 2 j - 0 2 2 k + C

r 0 = - 0 i - 0 j - 0 k + C

Passo 3

Mas da condição inicial, sabemos que r 0 = i + 2 j + 3 k , então bora substituir para encontrar C.

r 0 = C

i + 2 j + 3 k = C

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = - t 2 2 i - t 2 2 j - t 2 2 k + C

r t = - t 2 2 i - t 2 2 j - t 2 2 k + i + 2 j + 3 k

r t = - t 2 2 + 1 i - t 2 2 + 2 j - t 2 2 + 3 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = - t 2 2 + 1 i - t 2 2 + 2 j - t 2 2 + 3 k

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