Enunciado

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Integrações variadas

Calcule as integrais dos Exercícios 69- 116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

Passo 1

Para esta integral, por haver polinômios no numerador e no denominador, é possível resolvê-la por integração com frações parciais.

Passo 2

Com isso, podemos fatorar o denominador e dizer que:

1 + x 2 1 + x 3 = 1 + x 2 1 + x 1 - x + x 2 = A 1 + x + B x + C 1 - x + x 2

1 + x 2 1 + x 3 = A 1 - x + x 2 + B x + C 1 + x 1 + x 1 - x + x 2

1 + x 2 = A + B x 2 + - A + B + C x + ( A + C )

Tal que,

A + B = 1

- A + B + C = 0

A + C = 1

Logo:

A = 2 3 ; B = 1 3 ; C = 1 3

Passo 3

Após encontrar os coeficientes, voltamos para a equação da integral:

∫ 1 + x 2 1 + x 3 d x = ∫ 2 / 3 1 + x + ( 1 / 3 ) x + 1 / 3 1 - x + x 2 d x

= 2 3 ∫ 1 1 + x d x + 1 3 ∫ x + 1 1 - x + x 2 d x = 2 3 ∫ 1 1 + x d x + 1 3 ∫ x + 1 3 4 + x - 1 2 2 d x

Passo 4

A partir deste ponto, é possível resolver a segunda integral (que é mais complexa) através da integração por substituição utilizando

u = x - 1 2 ,   t a l   q u e   d u = d x

Assim:

1 3 ∫ u + 3 2 3 4 + u 2 d u = 1 3 ∫ u 3 4 + u 2 d u + 1 2 ∫ 1 3 4 + u 2 d u =

= 1 6 ln ⁡ 3 4 + u 2 + 1 3 t g - 1 u 3 / 2 = 1 6 ln ⁡ 3 4 + x - 1 2 2 + 1 3 t g - 1 x - 1 / 2 3 / 2

= 1 6 ln ⁡ 1 - x + x 2 + 1 3 t g - 1 2 x - 1 3

Passo 5

Com isso, pode-se retornar a integral do Passo 3, tal que:

∫ 1 + x 2 1 + x 3 d x = 2 3 ∫ 1 1 + x d x + 1 3 ∫ x + 1 3 4 + x - 1 2 2 d x

∫ 1 + x 2 1 + x 3 d x = 2 3 ln ⁡ 1 + x + 1 6 ln ⁡ 1 - x + x 2 + 1 3 t g - 1 2 x - 1 3 + C

Resposta

2 3 ln ⁡ 1 + x + 1 6 ln ⁡ 1 - x + x 2 + 1 3 t g - 1 2 x - 1 3 + C

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