Enunciado

Em qual intervalo a função f (x) = (s e n x)/(x) é contínua ?

Passo 1

Vendo a palavra continuidade e dando uma folheada no livro, achei uma parada massa que vai ser importante para a gente usar aqui. É um teorema que diz que uma função é continua em um ponto c quando

underset(x -> c)(lim) f (x) = f ( c )

Como a questão quer saber em quais intervalos a função é contínua, vamos considerar um ponto c qualquer e estipular condições para que funcione a igualdade, fechou? E assim, a gente vai tá determinando o intervalo.

Partiu!

Queremos que

underset(x -> c)(lim) f (x) = f ( c ) ⟹ underset(x -> c)(lim) f (x) = (s e n c)/(c)

Perceba que

underset(x -> c)(l i m) (sen x)/(x) = (sen c)/(c)

E como o nosso limite explodiria caso c = 0 , pois o denominador se anularia, enquanto numerador é não nulo. Para que

(cos c)/(c - pi) = f ( c )

Desde que c != 0 . . Ou seja, para c qualquer real, exceto pi

Então, f é contínua, quando em (- oo , 0) uu ( 0 , oo ) .

Resposta

(- oo , 0) uu ( 0 , oo )

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