Em qual intervalo a função f(x) = sen x / x é contínua ?

Passo 1

Vendo a palavra continuidade e dando uma folheada no livro, achei uma parada massa que vai ser importante para a gente usar aqui. É um teorema que diz que uma função é continua em um ponto c quando

lim x → c ⁡   f x = f ( c )

Como a questão quer saber em quais intervalos a função é contínua, vamos considerar um ponto c qualquer e estipular condições para que funcione a igualdade, fechou? E assim, a gente vai tá determinando o intervalo.

Partiu!

Queremos que

lim x → c ⁡   f x = f ( c )   ⟹     lim x  → c ⁡   f x = s e n   c c  

Perceba que

l i m x → c   sen ⁡   x x =   sen ⁡   c c

E como o nosso limite explodiria caso c = 0   , pois o denominador se anularia, enquanto numerador é não nulo. Para que

cos ⁡   c c - π = f ( c )

Desde que c ≠ 0 .   . Ou seja, para c qualquer real, exceto π

Então, f é contínua, quando em - ∞ ,   0 ∪ ( 0 ,   ∞ ) .

Resposta

- ∞ ,   0 ∪ ( 0 ,   ∞ )

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