Enunciado

A inversão do açúcar O processo do açúcar não refinado tem um passo chamado " inversão", que altera a estrutura molecular do açúcar. Uma vez iniciado o processo, a taxa de variação da quantidade de açúcar não refinado é proporcional à quantidade de açúcar não refinado remanescente. Se 1.000 k g de açúcar não refinado é reduzido a 800 k g durante as primeiras 10 horas, quanto restará após outras 14 horas?

Passo 1

Inicialmente ,utilizaremos as informações do enunciado para identificar qual o tipo de EDO estamos, lidando. Note que como a taxa de variação da quantidade de açúcar não refinado é proporcional à quantidade de açúcar não refinado remanescente, então uma constante de proporcionalidade k , de maneira que

d A d t = k A

Para resolver essa EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de A e do outro todo mundo que depende de t .

d A d t = k A   ⇒ 1 A d A = k   d t        

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 A d A     = ∫ k   d t   ⇒ ln ⁡ A + C 1 = k ∫ 1   d t = k t + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 A d A     = ∫ k   d t  

⇒ ln ⁡ A + C 1 = k t + C 2

Assim,

ln ⁡ A = k t + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas p , então

ln ⁡ A = k t + C ⇒ e ln ⁡ A = e k t + C ⇒ A = e C . e k t

Considerando e C = A 0 teremos,

A = A 0 e k t

Passo 2

Perceba que temos um problema de valor inicial, quando o enunciado pergunta .....

Ou seja, o que ele quer dizer é que

A = A 0 = 1000 quanto t = 0 .Sendo assim, A 0 = 1000 .

Por outro lado, quando t = 10 temos que A = 800 .Utilizaremos essas informações para encontrar o valor de k . Com isso,

A = A 0 e k t

⇒ 800 = 100 e k ( 10 )

⇒ e k ( 10 ) = 800 1000

⇒ e k ( 10 ) = 8 10 = 0.8  

⇒ l n ⁡ ( e k ( 10 ) )   = ln ⁡ 0.8

⇒ 10 k = ln ⁡ 0.8

⇒ k = ln ⁡ 0.8 10

Portanto,

p 0 = 1000 e k ≈ ln ⁡ 0.8 10

Passo 3

Para t = 24 horas, pois lembre-se estamos contando 14 depois de terem sido passadas 10 depois de iniciar o processo de inversão, teremos que

A = A 0 e k t ⇒ A = 1000 e ln ⁡ 0.8 10 ( 24 ) ≈ 585.35 k g

Ou seja, depois de 14 horas restará aproximadamente ≈ 585.35 k g de açúcar não refinado.

Resposta

A ≈ 585.35 k g

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