Lista de Exercícios Resolvidos de EDO Separável

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Resolva a equação diferencial dada por separação de variável descrita abaixo:

y ln ⁡ x d x d y = y + 1 x 2

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  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma

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Ache a solução geral da equação diferencial abaixo:

d y d x = x y + 3 x - y - 3

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Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

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Considere a equação diferencial

y ' = 7 x e x + y

a Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y 0 = 2 .

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Resolva a seguinte equação diferencial:

d y d x = 1 + y 2 1 + x 2 x y

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Seja a equação diferencial ordinária y ' t = 2 y t y t - 1 .

Obtenha a solução geral da EDO acima.

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A solução de y ' = x y ,     y 0 = 0 é

(a) y = 0

(b) y = e x 2 2 - 1

(c) y = 1 - e x 2 2

(d) y = e - x 2 2 - 1

(e) nenhuma das outras alternativas

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Indique qual das afirmativas abaixo é verdadeira.

(a) a equação y ' + x y = 0 não admite soluções constantes.

(b) toda solução da equação y ' = 1 + e y é uma função crescente.

(c) todas as outras afirmativas são falsas.

(d) a equação y ' + y = sen ⁡ y é linear

(e) a equação y ' = x + y é separável.

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Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

y ' y = x 1 - y 2

y 0 = 1 2

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Seja a equação diferencial:

d P d t = P 1 - 0,1 P

  1. Determine o comportamento da solução desta equação quando t → ∞ , dependendo do valor inicial P 0
  2. Encontre a solução Geral da equação diferencial

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Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = x e x y

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 2 .

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Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = y cos ⁡ x 2

Encontre solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 1 .

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Considere a seguinte equação diferencial:

y ' = sen ⁡ x 2 y 2

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 3 .

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Considere a seguinte equação diferencial:

y ' - x - 1 y x 2 + 2 x + 1 = 0

Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = - 1 .

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Considere a equação diferencial:

y ' = x e 2 - y

  1. Obtenha a solução geral.
  2. Considere a condição inicial y 0 = 1 e determine a solução particular para esta condição inicial.
  3. Existe alguma soluçaõ de equilíbrio? Determine todas que houver. Se não houver, explique o por quê.

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Considere a equação diferencial

y ' = 7 x e x + y

a Ache a solução geral.

b Resolva o problema de valor inicial com a condição inicial y 0 = 2 .

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h Ache f x tal que f ' x = 1 - f x 2 e f 0 = 1

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Considere a equação diferencial y ' = 2 x 1 - y 2 :

a Ache a solução geral explícita desta equação diferencial.

b Determine a solução parcial que passa pelo ponto 0,0

c O problema de valor inicial y ' = 2 x 1 - y 2 e y 0 = 2 tem solução?

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  1. Mostre que a equação
  2. y + x d y d x = 1 y

    É separável

  3. Resolva a mesma
  4. Ache a solução tal que y 0 = 1

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(b)

y ' + 2 x y = x 2 + 1 2

y 0 = 1

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Resolva o PVI

d y + 2 y - 1 d x = 0

y 0 = 1 2

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Resolva os problemas de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função f ( x ) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

(a)

y ' - x y 2 = x

y 0 = 1

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

b )   3 1 + y 3 + 2 x 2 y 2 y ' = 0

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Qual a única resposta correta como solução da ED : d y d x = y x + 1 ?

( ) l n   y =   l n   1   -   x

( ) l n   y =   l n   x +   1

( ) l n   y =   l n   x   -   1

( )   l n   y =   l n   x 1

( )   l n   y =   l n   x

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Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.

14 .   x y d x - 3 y - 2 d y = 0

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Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

1 8 .   1 + y 2 d x + 1 + x 2 d y = 0   ,     y 1 = 1

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Nos exercícios 13 a 16 verifique que a equação é de variáveis separáveis e resolva-a.

13 .   x ln ⁡ y y ' = y

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Encontre todas a soluções da EDO:

y ' + y 2 + 3 y + 2 = 0

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Nos exercícios 1 a 18 encontre todas as soluções da EDO.

y ' = 1 + x + y 2 + x y 2

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Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y ' = sec ⁡ 2 x 2 + y - 1 - 4 x   ,   y 0 = π 4 + 1

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial

c) x e - y s e n x d x - y d y = 0 y 0 = 0

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Considere a equação diferencial: y ' = x e x + y

  1. Obtenha a solução geral.
  2. Determine a solução que satisfaz a condição inicial y 0 = 0 .

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Determine as soluções de equilíbrio da equação diferencial y ' + x y = x y 2

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Encontre as soluções das equações:

  1. 2 d x d t + 3 x 2 cos ⁡ t = 0

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Se y é a solução do problema de valor inicial

d y d x +   e x y 2 = 0

y 0 = 1

Então é errado afirmar que

  1. y ( 1 ) < 1
  2. y é limitada
  3. y é decrescente
  4. y x > 0 para todo x ∈ R
  5. lim x → ∞ ⁡ y ( x ) = 0

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Se

d y d x = - x - x y ,

Então lim x → ∞ ⁡ y ( x ) é igual a

  1. 1
  2. - ∞
  3. 0
  4. - 1

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Ache a solução da equação

d N d t t = N t - N ² ( t )

Que satisfaz a condição N 0 = 1 2

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Considere o problema de valor inicial relativo à queda livre a partir do repouso, considerando a resistência do ar como uma força oposta ao movimento e proporcional à velocidade. A constante gravitacional é aproximadamente constante próxima à superfície da Terra.

( a ) Determine a solução v ( t ) do problema de valor inicial.

( b ) Determine em quanto tempo o corpo atinge o solo, se começa a 500   m de altura.

( c ) Neste item, considere   m ≈ b ≈ 1 , g ≈ 10 e obtenha um resultado aproximado.

Dica: Utilize a 2 ª lei de Newton m d v d t = ∑ i F i = peso + resistência do ar = m g - b v .

Dica: Oriente o eixo h verticalmente para baixo, colocando a origem na posição inicial.

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Considere a equação diferencial y ' = y 2 - y ∙ x ∙ sin ⁡ x

  1. Obtenha a solução geral explícita da equação diferencial acima.
  2. Determine a solução da equação diferencial acima que satisfaz a condição inicial y 0 = 2

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O número de soluções constantes da equação diferencial

y ' = x   cos ⁡ y

É:

  1. Infinito
  2. 0
  3. Nenhuma das demais alternativas
  4. 1
  5. 2

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( b ) Use a substituição z = y + x + 1 (redução de ordem), obtenha a solução para a seguinte EDO de 1 ª ordem y = y ( x ) , e responda se a solução obtida é implícita ou explícita:

d y d x = y + x + 1 2 - x - y y + x + 1

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Seja y ( x ) a solução do problema de valor inicial

y ' + x y 2 = x ,     y 0 = 0

Quanto vale y ( 1 ) ?

  1. Nenhuma das demais respostas
  2. e + 1
  3. e - 1
  4. ( e - 1 ) / ( e + 1 )  
  5. ( e - 1 ) / e 2

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Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

y ' = y 2 e x + e - x

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(b) Encontre uma solução para o problema de valor inicial:

e y y ' = 1 + e 2 y

y 0 = 0

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Fazendo a mudança de variável v = e 2 y , resolva o problema de valor inicial:

2 t e 2 y d y d t = 3 t 4 + e 2 y

y 1 = 0

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Questão 3: Dada a equação diferencial y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0 :

  1. Determine em que pontos do plano as condições do Teorema da existência e unicidade são válidas.
  2. Resolva o problema de valor inicial
  3. y y ' - 2 x 2 1 + y 2 = 0 ,     y 0 = 1

  4. Determine o maior intervalo em que a solução do item b pode estar definida.

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Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

a )   y ' = x y + 2 y - x - 2 x y - 3 y + x - 3

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Resolva a equção diferencial y ' = 4 x 2 y 2 com a condição de contorno x = 1 quando y = - 1 .

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Determine a solução da equação diferencial: d y d x = 2 x - 1 .

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Resolvendo a equação diferencial cos ⁡ y d y   = d x x obtemos:

( ) ln ⁡ y - sen ⁡ x = C

( ) sen ⁡ y -   ln ⁡ x = C

( ) cos ⁡ y -   ln ⁡ x = C

( ) sen ⁡ y - cos ⁡ x = C

( ) ln ⁡ y - cos ⁡ x = C  

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Indique qual é a solução da equação diferencial:

x d x + y d y = x y ( x d y - y d x )

( ) 1 + y = C ( 1 - x 2 )

( ) 1 + y 2 = C ( 1 - x 2 )

( ) sen ⁡ y 2 = C ( 1 - x 2 )

( ) 1 + y 2 = C ( ln ⁡ x - x 2 )

( ) C 1 - x 2 = 1

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Resolva usando separação de variáveis:

d y d x = x sec ⁡ y

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Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis.

x y ´ = 4 y

( ) y = c x 2

( ) y = c x 3

( ) y = c x - 3

( ) y = c x 4

( ) y = c x

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Marque a alternativa que indica a solução da eq. diferencial de variáveis separáveis.

  x d y - y + 1 d x = 0

( ) y = k x 2 + 1

( ) y = k x 2 - 1

( ) y = k x - 1

( ) y = k x + 2

( ) y = k x - 2

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Resolve as seguintes equações diferenciais. No caso da letra a), resolve o problema de valor inicial associado.

  1. d x d y = 4 1 + x 2 y 0 = 1
  2. d y d x - 2 x y = 1 x 2 y 2
  3. 1 + 2 x y d x + x 2 - 1 d y = 0
  4. y 2 + x y d x - x 2 d y = 0

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  1. Encontre a solução de forma explicita do problema de valor inicial
  2. y ' = x x 2 + 1 y 3

    y 1 = 2

  3. Mostre que a solução é única. Usando o conhecimento da Matéria, responda:

Para que valores de x 0 , y 0 podemos garantir que a solução existe e é única, substituindo a condição inicial y 1 = 2 por y x 0 = y 0 ? (Não esqueça de justificar, com a teoria vista).

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Determine a solução geral explicita da equação diferencial:

y ' = - 1 60 y - 32

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Considere a seguinte equação diferencial:

y ' - 2 x + x cos ⁡ x 2 y = 0

  1. Verifique se y x = x + x cos ⁡ x 2 é uma solução para a equação diferencial.
  2. Encontre a solução da equação diferencial com condição inicial y 0 = 2 .

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Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

17 .   y ' = e x y     ,     y 0 = 1

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Nos exercícios 17 a 19 resolva o problema de valor inicial (PVI).

19 . d y d x = y - y 2   ,   c o m   c a d a   c o n d i ç ã o   i n i c i a l

a   y 0 = 2               b   y 2 = 0             c   y 0 = 1

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