Encontre f'(x) e f´´(x) .

f(x) = x / (3 + e^x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

f x = x 3 + e x

Para isso precisaremos encontrar a primeira derivada utilizando algumas regrinhas.

Depois, basta derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada!!

Bom... para calcular f ´ ( x ) temos que lembrar da regrinha do quociente...

Sejam h e g duas funções deriváveis, então a derivada do quociente h / g é dada por:

d d x h x g x = g x d d x h x - h x d d x   g x g x 2

Lembrou ?!

Agora, vamos aplicar essa regra, né ?

Passo 2

Para isso vamos admitir o nosso g x = 3 + e x e h x = x .

Vamos, agora, calcular as derivadas dessas funções para substituirmos na fórmula:

d d x h ( x ) = 1

d d x g ( x ) = e x

Substituindo na fórmula:

f ´ x = 3 + e x * 1 - x * e x ( 3 + e x ) 2

Fim! (dessa primeira parte, hahaha)

Mantenha um foco só mais um pouquinho porque ainda temos que calcular f ´ ´ ( x ) .

Passo 3

Achamos essa expressão para f ´ x :

f ´ x = ( 3 + e x ) - x e x ( 3 + e x ) 2

Partindo dessa expressão, nós vamos ter que calcular f ´ ´ ( x ) . Isso quer dizer que também precisamos usar a regra do quociente.

Aqui, h x = 3 + e x - x e x e g x = 3 + e x 2 , certinho??

Calculando as derivadas dessas funções, temos:

d d x h x = d d x 3 + d d x e x - d d x x e x

Passo 4

Você pode estar se perguntando porque fragmentar a função para calcular a derivada ???

É porque vamos ter que usar a regra do produto para a última derivada.

Eu acho uma boa lembramos dessa regra:

d d x v x u x = v x d d x u x + u x d d x [ v x ]

Se considerarmos v x = x e u x = e x , temos as seguintes derivadas:

d d x v x = 1

d d x u x = e x

Substituindo na fórmula:

d d x x e x = x   e x + e x

Assim,

d d x h x = e x - ( x   e x + e x )

Passo 5

Temos que calcular a derivada de g ( x ) . Nós podemos escrever a função assim:

g x = 3 + e x ( 3 + e x )

Isso nos permite usar a regra do produto de novo né?!

Como u x = v ( x ) ,

d d x v x = d d x u x = e x

Substituindo na fórmula da regra do produto:

d d x g x = 3 + e x e x + 3 + e x e x = 2   e x ( 3 + e x )

Passo 6

Agora, vamos organizar o que nós temos:

h x = 3 + e x - x e x

d d x h x = e x - ( x   e x + + e x )

E

g x = 3 + e x 2

d d x g x = 2   e x ( 3 + e x )

Substituindo na fórmula da regra do quociente, temos:

f ´ ´ x = 3 + e x 2 ( e x - ( x   e x + e x ) ) - ( 3 + e x - x e x ) ( 2 e x ( 3 + e x ) 3 + e x 4

Dando uma ajeitada nisso, temos:

f ´ ´ x = - 3 x e x + x e 2 x - 6 e x - 2 e 2 x 3 + e x 3

Fim!

Resposta

f ´ x = ( 3 + e x ) - x e x ( 3 + e x ) 2

f ´ ´ x = - 3 x e x + x e 2 x - 6 e x - 2 e 2 x 3 + e x 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados