Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão.

60.(a) tg - 1 ⁡ 1 / 3 (b) sec - 1 ⁡ 2

Passo 1

O problema pede pra a gente calcular,o valor exato de sec - 1 ⁡ 2 ! Pra isso temos que ter em mente que:

sec - 1 ⁡ x = arcsec ⁡ x = θ

Aqui, basta que a gente calcule esses valores lembrando que uma função trigonométrica elevada a “-1” é na verdade outra forma de escrever as funções arco-trigonométricas.

Assim, temos que:

sec - 1 ⁡ 2 = θ

Ou seja, queremos determinar o arco (ângulo) cuja secante vale 2.

E a secante de um ângulo u qualquer, você sabe, é o inverso do cosseno. Assim:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Passo 2

Queremos então um arco θ que valha o seguinte:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 2

Assim, fica mais fácil. Multiplicando cruzado essa fração, teremos:

cos ⁡ θ = 1 2

Agora, qual ângulo você lembra cujo cosseno vale 0,5?

60 ° = π 3

Mas 60 ° não é o único ângulo cujo o cosseno vale 0,5 . Se liga no círculo trigonométrico:

De cara a gente vê que 5 π 3 tem o mesmo cosseno. Então podemos escrever a seguinte relação:

Na verdade, todos os arcos θ que obedecem a seguinte relação valem como resposta:

θ = π 3 + k ∙ 4 π 3

Onde k é um número inteiro qualquer (0,1, 2, -1, -2, 1000, etc.). Ou seja, podemos ter:

θ = π 3 , 5 π 3 , 3 π , 13 π 3 …

Isso quer dizer, todos os arcos côngruos ao de 60 ° serão possíveis respostas pra sec - 1 ⁡ 2 .

Resposta

sec - 1 ⁡ 2 = π 3 + k ∙ 4 π 3

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Mostre que as funções cos h ⁡ x e sech ⁡ x são pares.
30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que: