Enunciado

Pela lei da gravitação universal de Newton, a aceleração de queda livre a de um corpo, tal como o satélite mostrado na Figura 1.16 caindo de uma grande altura, não é a constante g . Em vez disso, a aceleração a é inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre oo centro da Terra e o corpo: a = k r 2 , em que k é a constante de proporcionalidade.

  1. Use o fato de que na superfície da terra r = R e a = g para determinar a constante de proporcionalidade k .
  2. Use a segunda lei de Newton e a parte (a) para encontrar uma equação diferencial para a distância r .
  3. Use a regra da cadeia na forma

d 2 r d t 2 = d v d t = d v d r d r d t

Para expressar a equação diferencial da parte (b) como uma equação diferencial envolvendo v   e d v d r .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

Vamos lá...

  1. Como a = g , r = R e a = k r 2 (pelo enunciado). Temos que:
  2. g = k R 2

    k = g R 2

    Prontinho! Encontramos a constante de proporcionalidade!

    Passo 2

  3. Usando a = d 2 r d t 2 (a aceleração é a derivada segunda da posição) e a constante que encontramos na parte a ) :
  4. a = d 2 r d t 2 = k r 2 = g R 2 r 2

    Ou seja:

    d 2 r d t 2 = g R 2 r 2

    Essa é a equação diferencial que estávamos procurando!

    Passo 3

  5. Agora usando a regra da cadeia que nos deram:

d 2 r d t 2 = d v d t = d v d r d r d t

E o que encontramos no item (b), temos:

d v d r d r d t = g R 2 r 2

Ou:

v d v d r - g R 2 r 2 = 0

Prontinho! 😉

Resposta

  1. k = g R 2
  2. d 2 r d t 2 = g R 2 r 2
  3. v d v d r - g R 2 r 2 = 0
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