Utilizando o Exercício 6, mostre que:

(b) ln (3) = ln (4) - sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k 4^k)

Passo 1

No exercício 6 mostramos que

ln (1 - x) = - sum_(n = 1)^(oo) (x^n)/(n) = x - (x^2)/(2) - (x^3)/(3) - ...

Para 0 < x < 1

Passo 2

Partindo de ln (3) :

ln (3) = ln (4) + ln ((3)/(4)) = ln (4) + ln (1 - (1)/(4)) =

Passo 3

Mas sabemos que

ln (1 - x) = - sum_(n = 1)^(oo) (x^n)/(n) para 0 < x < 1 , portanto:

ln (3) = ln (4) - sum_(k = 1)^(oo) (((1)/(4))^k)/(k)

Resposta

Concluimos que ln (3) = ln (4) - sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k 4^k) conforme queríamos demonstrar.

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